수환경관리, 시험 4, June 13th 2014

Water Environment Management, 4th Exam, 20140613

강원대학교 공과대학 환경공학과 교수 김준현

Kangwon National University, School of Engineering

Environmental Engineering Dept., Professor Joon Hyun Kim

Part II. Water Environment Management

Ch.2 QUAL2E

1. 본 모형의 지배방정식인 물질이동식을 설명하라.

Explain the mass transport equation which is the governing equation of this model.

하천에서의 물질이동 및 변환은 유체의 흐름에 의하여 농도 부하가 이동되는 유속에 의한 유송(이류유송)과 유체흐름의 난류성(Hydrodynamic Dispersion : 수리학적 분산)과 물질 농도 차이(Molecular Diffusion : 분자분산)에 의해 발생하는 확산, 화학 및 생물학적 반응(Biochemical Reaction)에 의한 물질의 증감, 시스템 내의 오염 부하량 유입 또는 유출(Source or Sinks)에 의한 부하의 증감에 의해 좌우된다. 이와 같은 과정을 수학적으로 표현하기 위하여 물질평형 관계를 고려하여 물질이동방정식을 유도하면 다음과 같다.

(1) 삼차원 물질이동식

x 방향의 물리학적 이동 기작 :

[eqn: LEFT [ LEFT { (uC)- LEFT ( D _{x} {Partial C} over {Partial x} RIGHT ) RIGHT } _{x} - LEFT { (uC)- LEFT ( D _{x} {Partial C} over {Partial x} RIGHT ) RIGHT } _{x+ DELTA x} RIGHT ] TRIANGLE y TRIANGLE z]

y 방향의 물리학적 이동 기작 :

[eqn: LEFT [ left {(vC) - LEFT ( D_y {Partial C} over {Partial y} RIGHT ) right } _ y - left {(vC) - LEFT ( D_y {Partial C} over {Partial y} RIGHT ) right } _ { y + Delta y} RIGHT ] TRIANGLE x TRIANGLE z]

z 방향의 물리학적 이동 기작 :

[eqn: LEFT [ left {(wC) - LEFT ( D_z {Partial C} over {Partial z} RIGHT ) right } _ z - left {(wC) - LEFT ( D_z {Partial C} over {Partial z} RIGHT ) right } _ { z + Delta z} RIGHT ] TRIANGLE x TRIANGLE y]

검사체적내의 생화학적 반응 : [eqn: (kC) TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z], kC는 단위부피당 생화학적 반응속도,  검사체적내로 직접 부하원 : [eqn: S TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z], S는 단위부피당 직접 부하원임.

검사체적내에서의 시간에 대한 증가분 : [eqn: {TRIANGLE C} over {TRIANGLE t} TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z]

미분식을 구하기 위하여 [eqn: TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z] 나눈후, [eqn: TRIANGLE x,` TRIANGLE y,` TRIANGLE z` -> 0]으로 접근하면

다음의 3차원 물질이동식을 구할 수 있다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = NABLA ( bold D` NABLA C)- NABLA ( vec{V} C)+kC+S]

(2) 일차원 물질이동식

QUAL2 모형의 지배방정식인 일차원 물질이동식은 위의 3차원 물질이동식중 x 방향의 성분만 고려하여 식을 다음과 같이 유도한다.

일차원 유동방향에 대한 수직단면적과 검사체적의 부피는 다음과 같다.

[eqn: A _{x} = TRIANGLE y TRIANGLE z]	[eqn: V= TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z]

3차원 물질이동식을 1차원 물질이동식으로 정리하면 다음과 같다.

[eqn: {TRIANGLE C} over {TRIANGLE t} V= TRIANGLE LEFT ( DA _{x} {TRIANGLE C} over {TRIANGLE x} RIGHT ) - TRIANGLE LEFT ( uC RIGHT ) A _{x} +kCV+SV]

위의 식을 [eqn: V= TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z]으로 나누어 준 후, [eqn: TRIANGLE x,` TRIANGLE y,` TRIANGLE z` -> 0]로 놓으면

다음과 같은 1차원 물질이동식을 얻을 수 있다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = {Partial LEFT ( DA _{x} {Partial C} over {Partial x} RIGHT )} over {A _{x} Partial x} - {A _{x} Partial LEFT ( uC RIGHT )} over {A _{x} Partial x} +kC+S]

위의 식은 다음과 같은 일반적인 1차원 물질이동식에 수직단면적을 고려한 식이다. 즉, 수직단면적의 변화(수심 및 폭의 변화)을 고려하기 위하여 우측항의 분모와 분자에 단면적을 곱하고 나누어 준 것이다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = {Partial over { Partial x} LEFT ( D {Partial C} over {Partial x} RIGHT )} - {Partial (uC)} over { Partial x} + kC + {S}]

QUAL2E Manual에서 제시하고 있는 일차원 물질이동식은 다음과 같다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = {Partial LEFT ( A _{x} D {Partial C} over {Partial x} RIGHT )} over {A _{x} Partial x} - {Partial (A _{x} uC)} over {A _{x} Partial x} + R over V + {S} over {V}]

여기서, R는 검사체적 전체부피에 대한 반응속도, S는 검사체적 전체 부피에 대한 부하원을 나타낸다.

(3) 열전달방정식

QUAL2E는 에너지 보전의 원리를 이용하며 열전달을 고려한 에너지 방정식을 이용하여 수온을 계산한다. 지배방정식은 다음 식과 같으며 물질 이동 방정식과 흡사한 형태를 가진다.

[eqn: {Partial T} over {Partial t} = {Partial LEFT ( AD {Partial T} over {Partial x} RIGHT )} over {A Partial x} - {Partial (AUT)} over {A Partial x} ± {1} over {rho c} + {S} over {V}]

여기서, T는 수온이고, [eqn: rho]는 물의 밀도, c는 비열이다.

2. 본 모형에서는 유속, 수심, 유량 및 단면 등의 수리학적 파라미터와 분산계수를

어떻게 해석하고 있는가?

How does this model evaluate the hydraulic parameters such as velocity, depth, flow rate, cross sectional area and the dispersive coefficient.

QUAL2E 모형은 하천의 수리학적 흐름 상태를 정상류로 가정하며, 하천의 유량변화에 따른 유속과 수심 또는 단면적계산은 유량계수법과 유로단면이용법(Manning의 공식) 중에서 선택하여 사용할 수 있도록 되어 있다.

(1) 유량계수법

이 방법은 수리 모형을 수행하거나 또는 실측 자료를 이용하여 각 지점별로 유속과 유량을 산정하고, 동일 대 구간 내에서의 유량과 유속, 유량과 수심과의 관계를 회귀분석법에 의하여 구하거나, 유로단면이 구형이고, 단면곡선(Rating Curve)이 있는 경우에 계산하는 방법으로 다음 식과 같이 표시할 수 있다.

유속 : [eqn: U=aQ ^{b}], 단면적 : [eqn: A _{x} =Q/(U)],  수심 : [eqn: H= alpha Q ^{beta }]

여기서, U는 평균 유속, Q는 유량, H는 수심, a, b, [eqn: alpha], [eqn: beta]는 경험상수로 수위-유량곡선으로부터 산출하거나 DYNHYD5, HEC-2, HEC-RAS와 같은 부등류 수리 모형을 이용하여 여러 가지 유량조건에 따른 각 하천구간별 유속과 수심을 계산한 후 결과에 대한 회귀분석을 통해 계수 값들을 산정할 수 있다.

(2) 유로 단면 이용법

유로 단면이 정비되어 구형이나 사다리꼴의 형태로 되어 있는 경우에는 Manning식을 이용하여 다음 식과 같이 해석한다.

[eqn: Q= LEFT ( {1.486} over {n} RIGHT ) R ^{2/3} AS ^{1/2}]

여기서, n는 Manning의 조도 계수이고, S는 에너지구배, R은 평균 동수반경, A는 유로 단면적을 나타낸다.

(3) 종 확산계수

Elder(1959)는 다음과 같은 종확산계수(E) 산정식을 제시하였다.

[eqn: E = K`d`u^*]

여기서, K는 확산상수, [eqn: u ^{*} =C sqrt {RS}]는 평균 마찰속도, C는 Chezy의 상수 [eqn: C= {R ^{1/6}} over {n}],  R = A/P, [eqn: S]는 에너지 경사도이다. Manning의 식으로부터 에너지경사도를 유도하여 대입하여 정리하면 다음과 같은 식이 유도된다.

[eqn: S= LEFT ( {Un} over {1.486n``R ^{2/3}} RIGHT ) ^{2}],  [eqn: E=3.11`K`n` {bar{U}} ``d ^{5/6}]

여기서, E는 하천의 종확산계수(㎡/s), U는 평균유속(m/s), H는 평균수심(m)이다.

3. 본 모형은 Network 모형으로 분류된다. Network 모형은 무엇인가?

This model is classified as Network Model. What is Network Model?

일반적은 수치해석 기법은 사용한 모형들은 공간에 따라 1, 2, 3차원 모형으로 구분되고, 차원이 높아짐에 따라 수치해석 기법도 복잡하게 된다. 유한차분법의 경우 각 방향에 대하여 절점망을 구성하고, 유한요소법에서는 각 방향에 대하여 요소망을 구성하여 해석한다. Network 모형은 이러한 수치해석 기법을 간단히 해석하기 위하여 각 방향별로 격자망을 구성하는 대신에 모든 방향에 대하여 1차원 Network 격자망을 구성한다. 본 격자망은 Box 형태로 절점과 연결격자로 구성된다. 즉 절점은 격자의 중심에 설정한다. 방향에 상관없이 모형에서는 Network의 연결도만 입력한다.

미국 EPA에서 개발된 모형들은 대부분 본 방법을 따른다. 대표적 모형은 하천모형인 QUAL2E, QUAL2K, 호소 및 연안 모형인 WASP7, 상수관망 모형인 EPANET2 등이다.

4. 모형의 수치해석기법을 설명하라. (후방유한차분법)

Describe the numerical method of this model(Backward Finite Difference Method)

본 모형의 물질이동식은 반응식을 일차반응항과 내부발생원으로 분류하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: {PARTIAL C} over {PARTIAL t} = {Partial LEFT ( A _{x} `E` {Partial `C} over {Partial `x} RIGHT )} over {A _{x} `` Partial `x} `-~ {Partial LEFT ( A _{x} `U`C RIGHT )} over {A _{x} `` Partial `x} `+~rc~+~p`+~ {S} over {V} `]

여기서, 반응항은 [eqn: {dC} over {dt} =rC`+`p] 로 두 가지로 분리되어 표현된다. 첫 번째 항은 농도에 비례하는 1차 반응을 나타내며, 두 번째 항은 내부 발생 또는 제거로서, 저니층 부하, 조류성장에 따른 영양염류 손실 등이 해당한다.

본 모형의 일차원 격자망은 다음과 같다. 시간영역에 대해서는 n를 공간영역에 대해서는 [eqn: i]라는 표기를 사용하여 다음과 같이 유한차분 알고리즘을 유도할 수 있다.

Flow ➜

	●	●	●
	요소 i-1	요소 i	요소 i+1

[eqn: n+1~:`t+ {△t} over {2}]

[eqn: n~~`:`t- {△t} over {2}]

QUAL2E 모형의 수치해석 알고리즘의 계산 격자망

(1) 후방차분법을 이용한 지배방정식의 이산화

후방유한차분법을 적용하여 다음과 같이 모든 공간 편미분항은 후방차분되고, 시간편미분항은 전방차분된다.

1단계: 이송과 확산항을 x에 대해 한번 후방차분하면 다음과 같다 (반응항과 근원항은 도함수가 없으므로 불변).

[eqn: {Partial C _{i}} over {Partial t} = {-(AE {Partial C} over {Partial x} ) _{i-1} +(AE {Partial C} over {Partial x} ) _{i}} over {V _{i}} + {(AUC) _{i-1} -(AUC) _{i}} over {V _{i}}]

여기서, [eqn: V_i = A_i`` TRIANGLE x_i]

2단계: 일차 공간도함수에 후방차분법을 적용하여 이산화한다.

[eqn: { PARTIAL C_i} over { PARTIAL t } = {{( AE) (C_i+1 - C_i )} over {V_i △x_i}} + {{( AE) (C_i-1 - C_i )} over {V_i △x_i}}+ {{ Q_i-1 C_i-1 -Q_i C_i} over {V_i} }]

3단계: 시간 편미분항을 전방차분한다 (비정상상태의 유한차분).

[eqn: {C _{i} ^{n+1} -C _{i} ^{n}} over {TRIANGLE t} = {(AE) _{i,i+1(} C _{i+1} ^{n+1} -C _{i} ^{n+1} )} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {(AE) _{i-1,i} (C _{i-1} ^{n+1} -C _{i} ^{n+1} )} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}}]

[eqn: + {(Q _{i-1} C _{i-1} ^{n+1} -Q _{i} C _{i} ^{n+1} )} over {V _{i}} +r _{i} ``C _{i} ^{n+1} +P _{i} + {S _{i}} over {V _{i}} ``]

위의 식을 주변수인 수질농도에 대하여 다음과 같이 정리한다.

[eqn: a _{i} C` _{i-1} ^{n+1} +b _{i} C` _{i} ^{n+1} +c _{i} C` _{i+1} ^{n+1} =Z _{i} `]

[eqn: a _{i} =-[(AE) _{i-1} {TRIANGLE t} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{i-1} TRIANGLE t} over {V _{i}} ]]

[eqn: b _{i} =1.0+[(AE) _{i-1} +(AE) _{i} ] {TRIANGLE t} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{i} TRIANGLE t} over {V _{i}} -r _{i} TRIANGLE t``]

[eqn: c _{i} =-[(AE) _{i} {TRIANGLE t} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} ]]

[eqn: Z _{i} =C _{i} ^{n} + {s _{i} TRIANGLE t} over {V _{i}} +p _{i} TRIANGLE t``]

미지수는 좌항에 있는 3개의 수질농도 값이고, 나머지는 모두 기지의 값들이다. 정상상태에서는  [eqn: {Partial C _{i}} over {Partial t} =0] 이므로

[eqn: a _{i} C` _{i-1} ^{n+1} +b _{i} C` _{i} ^{n+1} +c _{i} C` _{i+1} ^{n+1} =Z _{i} `]

[eqn: a _{i} =-[ {(AE) _{i-1}} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{i-1}} over {V _{i}} ]]

[eqn: b _{i} =[ {(AE) _{i}} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {(AE) _{i-1}} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{i}} over {V _{i}} -r _{i} ]``]

[eqn: c_i =- [{(AE)_i} over {V_i TRIANGLE x_i }]]

[eqn: Z _{i} = {s _{i}} over {V _{i}} +p _{i} ``]

지류가 유입되는 요소에서는 다음과 같은 [eqn: d _{j}]항을 더해 주어야 한다.

[eqn: a _{i} C` _{i-1} ^{n+1} +b _{i} C` _{i} ^{n+1} +c _{i} C` _{i+1} ^{n+1} +d _{j} C` _{j} ^{n+1} =Z _{i} `]

여기서, [eqn: d _{j} =-[(AE) _{j} {TRIANGLE t} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{j} TRIANGLE t} over {V _{i}} ]``], j 는 합쳐지는 지류의 요소를 나타내며, [eqn: C` _{j} ^{n+1}] 는 n+1 시간에서 요소 j에서의 수질농도 값이다.

(2) 가우스소거법을 이용한 최종연립방정식의 해석

이산화된 차분식을 전체 절점에 대하여 합쳐주면 다음과 같은 연립방정식의 행렬이 구성되며, 이러한 행렬은 이산화된 차분식에서의 격자점이 서로 인접한 격자점만 포함하기 때문에 다음과 같은 삼대각행렬을 구성하게 된다.

[eqn: bmatrix{b _{1}&c _{1}&&&&&&#a _{2}&b _{2}&c _{2}&&&&&#&a _{3}&b _{3}&c _{3}&&&&#&&.&.&.&&&#&&&a _{i}&b _{i}&c _{i}&&#&&&&.&.&.&#&&&&&a _{I-1}&b _{I-1}&c _{I-1}#&&&&&&a _{I}&b _{I}} TIMES][eqn: bmatrix{C` _{1} ^{n+1}#C` _{2} ^{n+1}#C` _{3} ^{n+1}#.#C` _{i} ^{n+1}#.#C` _{I-1} ^{n+1}#C` _{I} ^{n+1}}]=[eqn: bmatrix{Z _{1}#Z _{2}#Z _{3}#.#Z _{i}#.#Z _{I-1}#Z _{I}}]

위의 삼대각 행렬식에 가우스 소거법을 적용하면 다음과 같다.

- 전방 소거 (Forward Elimination)

1행 [eqn: b _{1} C` _{1} ^{n+1} +c _{1} C` _{2} ^{n+1} =Z _{1}]에서 양변을 b1으로 나누면

[eqn: C` _{1} ^{n+1} +W _{1} C` _{2} ^{n+1} =G _{1}]

여기서,[eqn: W _{1} = {c _{1}} over {b _{1}} ,~~G _{1} = {Z _{1}} over {b _{1}}]

2행 [eqn: a _{2} C` _{1} ^{n+1} +b _{2} C` _{2} ^{n+1} +c _{2} C` _{3} ^{n+1} =Z _{2}]

2행의 [eqn: a sub 2]를 소거하기 위하여 1행에 [eqn: a sub 2]를 곱하여 빼준다.

[eqn: a _{2} C` _{1} ^{n+1} +a _{2} C` _{1} ^{n+1} +b _{2} C` _{2} ^{n+1} +c _{2} C` _{3} ^{n+1} =Z _{1}# # a _{2} C` _{1} ^{n+1} +a _{2} W _{1} C` _{2} ^{n+1} ~~~~~~~~~~~~~~~`=a _{2} G _{1}# ----------------------]

[eqn: (b _{2} -a _{2} W _{1} )C` _{2} ^{n+1} +c _{2} C` _{3} ^{n+1} =Z _{2} -a _{2} G _{1}]

[eqn: C _{2} ^{n+1} +W _{2} C _{3} ^{n+1} =G _{2}]

여기서, [eqn: W _{2} = {c _{2}} over {b _{2} -a _{2} W _{1}} ,~~G _{2} = {Z _{2} -a _{2} G _{1}} over {b _{2} -a _{2} W _{1}}]

같은 방법을  i 행에 대하여 적용하면 다음과 같다.

[eqn: C` _{i} ^{n+1} +W _{i} C` _{i+1} ^{n+1} =G _{i}]

여기서, [eqn: W _{i} = {c _{i}} over {b _{i} -a _{i} W _{i-1}} ,~~G _{i} = {Z _{i} -a _{i} G _{i-1}} over {b _{i} -a _{i} W _{i-1}}]

- 후방 치환 (Backward Substitution)

마지막 행에 대한 해는[eqn: C` _{I} ^{n+1} =G _{I} `] 이므로 이 값을 이용하여 후방치환하여 [eqn: C` _{I-1} ^{n+1} ,C` _{I-2} ^{n+1} ,....]를 구한다.

[eqn: C` _{i} ^{n+1} =G _{i} -W _{i} C` _{i+1} ^{n-1} ,~~for~~i=I-1,...,1]

(3) 경계조건

- 상류경계조건 (Upstream Boundary Condition)

최상류에서는 최상부 격자(Headwater Elements)의 수질농도가 Co로 입력되기 때문에 수치해석상 제1경계 조건이 되어 다음의 알고리즘을 사용한다.

[eqn: Z_1 = C_1 ^n + { s_1 TRIANGLE t} over {V_1 } + p_1 TRIANGLE t - a_1 C_o``]

- 하류경계조건 (Downstream Boundary Condition)

하류 경계조건은 최종 격자에서 다음과 같이 기지의 농도의 경사도(플럭스)나 농도값을 사용한다.

Option 1: 농도의 구배도가 0임 (Zero Gradient Assumption)

하천 마지막구간의 최하단 요소 I에서 [eqn: C_I+1]은 [eqn: C_I-1]로 대체된다.

[eqn: a_i =- [((AE)_I-1 +(AE)_I ) { TRIANGLE t} over {V_i TRIANGLE x_i } + { Q_i-1 TRIANGLE t} over {V_i }]]

Option 2: 고정된 농도 값 (Fixed Concentration)

시스템의 마지막 요소에 고정된 농도값을 사용한다.

[eqn: C _{I+1} =C _{LB}]

[eqn: Z _{I} =C _{I} ^{n} + {s _{I} TRIANGLE t} over {V _{I}} +p _{I} TRIANGLE t-c _{I} C _{LB} ``]

5. 본 모형의 수질 모델링 항목들간의 변환 및 상호 관계는 다음의 그림으로 나타낼 수 있다. 이러한 변환 및 반응들을 구체적으로 설명하고, 반응속도식 및 반응속도상수를 설명하라.

The transformation and biochemical reactions between the water quality variables of QUAL2E can be expressed as shown in below figure. Explain in detail about the transformation and reaction mechanism, and reaction kinetics and reaction constants.

■ 생화학적 반응의 평가

예측 가능한 수질 항목으로는 DO, BOD, Algae, Organic-N, NO2-N, NO3-N, Organic-P, Dissolved-P, 온도, 대장균, 3개의 보전성 물질, 1개의 임의의 비보존성 물질 등 13개 항목이며, 항목간의 상호 관계는 위의 그림에 나타나 있다.

Dissolved Oxygen (DO):	용존산소

Biochemical Oxygen Demand (BOD):	생화학적 산소요구량

Temperature:	온도

Algae as a Chlorophyll a:	조류 (엽록소로 표시)

Organic Nitrogen as N:	유기질소 (as N)

Ammonia as N (NH3-N):	암모니아 (as N)

Nitrite as N(NO2--N):	아질산성 질소

Nitrate as N(NO3-N):	질산성 질소

Organic Phosphorus as P:	유기인 (as P)

Dissolved Phosphorus as P:	용존인 (as P)

Coliforms:	대장균

Arbitrary Nonconservative Constituent:	임의의 비보존성 물질

Three Conservative Constituents:	3개의 보존성 물질

(1) 조류

조류의 성장에 의한 증가, 사멸 및 침전에 의한 감소를 고려하여 다음의 식으로 표현할 수 있다.

[eqn: Chl.`a= alpha _{0} A]

[eqn: {dA} over {dt} `=~ mu A~-~ rho A`-~ {sigma _{1}} over {d} A# 증가~~성장~```사멸~~~침전`]

여기서,

Chl. a = 엽록소 농도

A = 조류농도

[eqn: alpha _{0}] = Conversion factor,  ug Chl. a/mg A (엽록소와 조류 농도의 변환 계수)

[eqn: mu] = Specific growth rate of algae (조류의 비성장률)

[eqn: rho] = Respiration rate of algae (사멸율)

[eqn: sigma _{1}] =  Settling rate for algae (침전율)

d = 평균수심

조류의 성장율은 다음과 같이 선택적으로 평가된다.

Option 1. 곱(Multiplicative) : [eqn: mu = mu _{max} (FL)(FN)(FP)]

Option 2. 제한영양원(Limiting Nutrient) : [eqn: mu = mu _{max} (FL)``Min(FN,``FP)]

Option 3. 조화평균(Harmonic Mean) : [eqn: mu = mu _{max} (FL) LEFT [ {2} over {1/FN+1/FP} RIGHT ]]

여기서,

[eqn: mu _{max}] = Maximum specific algal growth rate (최대성장율)

FL = Algal growth limitation factor for light (빛제한요소)

FN = Algal growth limitation factor for nitrogen (질소제한요소)

FP = Algal growth limitation factor for phosphorus (인제한요소)

(2) 유기질소(Organic Nitrogen: Org-N)

유기질소는 조류의 사멸에 의한 유기질소 증가, 유기질소의 가수분해등을 고려하여 다음의 식으로 나타낸다.

[eqn: {dN _{4}} over {dt} `=` alpha _{1} rho A~-~ beta _{3} N _{4~} -` sigma _{4} N _{4}# 증가~~사멸~~~가수분해~침전`]

여기서,

[eqn: N _{4}] = Concentration of Organic Nitrogen, mg-N/L (유기질소농도)

[eqn: beta _{3}] = Hydrolysis rate of Org. N to NH3-N, /day (가수분해율)

[eqn: alpha _{1}] = Fraction of algal biomass that is N,  mg-N/mg-A (조류내의 질소 함유율)

[eqn: sigma _{4}] =  Settling rate for Org. N (유기질소의 침전율)

(3) 암모니아성 질소 (Ammonia Nitrogen : NH3-N, N1)

암모니아성 질소는 유기질소의 가수분해에 의한 증가, 암모니아성 질소의 산화에 의한 감소, 하상퇴적물로부터의 부상에 의한 증가, 조류의 섭취에 의한 감소를 고려하여 다음의 식으로 나타낸다.

[eqn: {dN _{1}} over {dt} `=~ beta _{3} N _{4~} -~ beta _{1} N _{1~} +~ sigma _{3} /H~-~F _{1} alpha _{1} mu A# 증가~~가수분해~~~질산화~~~~침전~~~성장~~~~]

여기서,

[eqn: N _1] = Concentration of Ammonia Nitrogen, mg-N/L (암모니아성 질소의 농도)

β1 = Oxidation rate of NH3-N to NO2-N, /day (아질산화율)

σ3 = Benthos source rate for NH3-N, mg-N/ft2-day (하상부상율)

H = water depth (수심)

F1 = Fraction of algal N uptake from ammonia pool (조류의 섭취율)

[eqn: F _{1} = {P _{N} N _{1}} over {P _{N} N _{1} +(1-P _{N} )N _{3}}]

PN = Preference factor for ammonia nitrogen (0 to 1.0) (조류의 선호도)

(4) 아질산성 질소 (Nitrite Nitrogen : N2)

아질산성 질소는 암모니아성 질소의 산화에 의해 증가하고, 아질산의 산화에 의해 감소한다.

[eqn: {dN _{2}} over {dt} `=~ beta _{1} N _{1} `-~ beta _{2} N _{2}# 축적~~~질산화~~질산화]

여기서,

[eqn: N _{2}] = Concentration of Nitrite Nitrogen, mg-N/L (아질산성 질소의 농도)

β1 = Oxidation rate of NH3-N to NO2-N, /day (암모니아의 산화율)

β2 = Oxidation rate of NO2-N to NO3-N, /day (아질산성 질소의 산화율)

(5) 질산성 질소 (Nitrate Nitrogen, N3)

질산성 질소는 아질산의 산화에 의해 증가하고, 조류의 섭취에 의해 감소한다.

[eqn: {dN _{3}} over {dt} = beta _{2} N _{2} -(1-F _{2} ) alpha _{1} mu A# 축적~~~~질산화~~~성장~~~~~~]

여기서, F2는 조류의 질산성 질소의 섭취율이다..

(6) 유기인 (Organic Phosphorus : P1)

유기인은 조류의 사멸에 의해 증가하고, 용존인으로 변화함으로써 감소하며, 침전에 의해 감소한다.

[eqn: {dP _{1}} over {dt} `=~ alpha _{2} rho A`-~ beta _{4} P _{1} `-~ sigma _{5} P _{1}# 축적~~~호흡~~`무기인화~~~침전]

여기서,

[eqn: P _{1}] = Concentration of Organic Phosphorus, mg-P/L (유기인의 농도)

α2 = Fraction of algal biomass that is P,  mg-P/mg-A (조류내의 인함유율)

β4 = Organic P decay rate, /day (유기인의 용존인으로의 변환율)

σ5 =  Settling rate for Org. P (유기인의 침전율)

(7) 용존인 (Dissolved Phosphorus : P2)

용존인은 유기인으로부터 변화에 의해 증가하며, 하상퇴적물로부터 부상에 의해 증가하고, 조류의 섭취에 의해 감소한다.

[eqn: {dP _{2}} over {dt} `=~ beta _{4} P _{1~} +~ sigma _{2} /d`-~ alpha _{2} mu A# 축적~~~호기성분해~~~침전~~~성장~~]

여기서,

[eqn: P _{2}] = Concentration of inorganic or dissolved P, mg-P/L (용존인의 농도)

σ2 = Benthos source rate for dissolved P, mg-P/ft2-day (용존인의 부상율)

d = Mean stream depth (평균수심)

α2 = Fraction of algal biomass that is P,  mg-P/mg-A (조류의 인함유율)

μ = Specific growth rate of algae (조류의 성장률)

β4 = Organic P decay rate, /day (유기인의 분해율 : 무기인화율)

(8) 탄소성 생물학적 산소 요구량 (CBOD : L)

CBOD는 탈산소 및 침전에 의해 감소한다.

[eqn: {dL} over {dt} `=~-K _{1} L~-~K _{3} L# 축적~~~호기성분해~~~침전]

여기서,

L = the concentration of ultimate carbonaceous BOD, mg/L (CBOD의 농도)

K1 = deoxygenation rate coefficient, temperature dependent, /d (탄산소율)

K3 = the rate of loss of CBOD due to settling, /d (침전율)

QUAL2E 모형은 일반적으로 최종 BOD인 BODU를 계산하지만, 사용자가 5일 BOD인 BOD5를 사용하고자 할때에는 입력자료에서 지정을 해야 하며, 모형은 내부적으로 다음 식으로 변환된다.

[eqn: BOD _{5} =BOD _{u} (1.0-exp(-5 TIMES KBOD))]

(9) 용존산소 (O)

용존산소는 재폭기 및 조류의 광합성에 의해 증가하고, 탈산소, 하상퇴적물, 암모니아성 질소 및 아질산의 산화에 의해 감소한다.

[eqn: {dO} over {dt} =K _{2} (O _{s} -O)-K _{1} L-K _{4} /H+( alpha _{3} mu - alpha _{4} rho )A- alpha _{5} beta _{1} N _{1} - alpha _{6} beta _{2} N _{2}# 축적~~~재폭기~~~~~분해~~~SOD~~~성장-호흡~~~~~~~~질산화~~]

여기서, O는 용존산소의 농도이고, [eqn: O_s]는 주어진 온도 및 압력하의 포화산소농도이며, α3는 조류의 광합성에 의한 산소생산량이고, α4는 조류의 호흡에 의한 산소 감소율이며, α5는 암모니아성 질소의 산화에 따른 산소소모율이며, α6는 아질산의 산화에 따른 산소소모율이며, K4는 하상퇴적물에 의한 산소감소율, β2는 아질산의 산화율, β1는 암모니아 산화율을 나타낸다.

용존산소 포화농도(Os)는 수온에 반비례, 용존부유물 농도 또는 염도에 반비례, 기압에 비례하며 아래와 같은 관계가 있다.

o 온도의 영향 : 평균해수면에서 온도에 따른 DO 포화농도는 다음과 같다.

[eqn: lnO _{s} =-139.34410+ {1.575701 TIMES 10 ^{5}} over {Ta} - {6.642308 TIMES 10 ^{7}} over {Ta ^{2}}# + {1.243800 TIMES 10 ^{10}} over {Ta ^{3}} - {8.621949 TIMES 10 ^{11}} over {Ta ^{4}}]

여기서,

Ta(oK) = T(oC) + 273.15

o 압력의 영향

[eqn: O _{p} =O _{S} TIMES P[ {(1- {p _{wv}} over {p} )(1- phi P)} over {(1-p _{wv} )(1- phi )} ]]

여기서,

Op = 다른 기압에서 포화 용존산소 농도

Os = 1기압(atm)에서의 포화용존산소 농도

P = 압력 (atm)

Pwv = 수증기의 부분압 (atm)

[eqn: phi =0.000975-(1.426 TIMES 10 ^{-5} t)+(6.436 TIMES 10 ^{-8} t ^{2} )]

[eqn: lnP _{wv} =11.8571-(3840.70/T)-216961/T ^{2}]

t = 기온. oC

용존산소의 폭기계수(K2)는 일반적으로 수심과 유속의 함수로 나타내며,     QUAL2E 모형에서는 다음과 같이 8개의 Option으로 제공된다.

K2 Option 1 : 직접 사용자 입력. 하천구간 얼음생성과 같은 비정상적 조건에 유리

K2 Option 2 (Churchill, Elmore, and Buckingham, 1962)

[eqn: K _{2} ^{20} =5.026U ^{0.969} H ^{-1.673}]

K2 Option 3 (O'Conner and Dobbins, 1958) : 가장 많이 사용

[eqn: K _{2} ^{20} =3.93U ^{0.5} H ^{-1.5}]  (간략식)

K2 Option 4 (Owens et al. 1964) : 얕고 빠른 흐름의 하천

[eqn: K _{2} ^{20} =9.4U ^{0.67} TIMES H ^{-1.85}]

K2 Option 5 (Thacston and Krenkel, 1966) : TVA 하천

[eqn: K _{2} ^{20} =10.8(1+F ^{0.5} ) {u ^{*}} over {h}]

F = Froude number, [eqn: F= {U ^{*}} over {sqrt {gH}}], 전단속도 [eqn: U ^{*} = sqrt {gHS _{e}}]

K2 Option 6 (Langbien and Durum, 1967)

[eqn: K _{2} ^{20} =3.3U TIMES H ^{-1.33}]

K2 Option 7 : 유량과의 멱함수로 표현

[eqn: K _{2} =aQ ^{b}]

K2 Option 8 (Tsivoglou and Wallace, 1972)

[eqn: K _{2} ^{20} =(3600 TIMES 24)cS _{e} U]

c = escape coefficient

댐에서 재포기가 있는 경우에는 다음과 같은 식을 사용한다.(Butts and Evans, 1983)

[eqn: D _{a} -D _{b} = LEFT [ 1- {1} over {1+0.116abH(1-0.034H)(1+0.46T)} RIGHT ] D _{a}]

여기서,

Da, Db = 각각 댐 상류와 하류에서의 DO 결핍량

a, b = 각각 수질오염상태와 댐 형식에 따른 계수

(10) 대장균

대장균은 사멸에 의한 감소가 주 원인이다.

[eqn: {dE} over {dt} =-K _{5} E]

여기서, E는 대장균의 농도이고, K5는 대장균의 사멸율을 나타낸다.

(11) 임의의 비보존성 물질

임의의 비보존성 물질은 쇠퇴 및 침전에 의한 감소, 하상퇴적물로부터 부상에 의한 증가가 있다.

[eqn: {dR} over {dt} =-K _{5} - sigma _{6} R+ {sigma _{7}} over {d}]

여기서, R는 비보존성 물질의 농도, K6는 비보존성 물질의 쇠퇴율, σ6는 비보존성 물질의 침전율, σ7은 하상퇴적물로부터 부상율을 나타낸다.

6. 본 모형에 있어서 파라미터중 가장 중요한 4개의 파라미터를 설명하라.

Explain the most important four parameters of this model.

수질모형을 구성하고 있는 각 파라미터가 모형에서 도출하려고 하는 수질인자의 변화에 미치는 영향을 평가한다.  즉 모형의 구성인자를 일정한 비율로 변화 입력시킴으로써 이것에 대한 수질인자의 변동정도를 파악한다. 예민도 분석에 의해서 하천의 수질 오염의 주요인자의 파악을 가능케함과 동시에 수질변화에 있어서도 중요한 역할을 갖는 파라미터를 파악할 수가 있을 것이다. 이것은 최적의 하천수질관리방법을 모색하는데 에도 유효하다.

한편 예민도 해석을 통해서 각 파라미터 값의 추정 오차가 모형의 출력에 미치는 영향을 평가 할 수도 있다.

입력 자료의 변화가 출력에 미치는 영향 정도를 조사함으로써 중요인자를 도출하며, 장래의 자료 수집시 중요 인자들을 중점적으로 조사하거나, 중요인자들의 상호관계를 규명함으로써 수학적 모형의 개선에 지침을 마련할 수 있다.  특히 국내와 같이 반응계수 자료가 미흡하고 실측할 수 있는 여건이 한정되어 있는 경우에는 예민도 분석을 통해 사업대상 수역에 중요한 영향을 미치는 반응계수를 도출하여 그 인자에 대해 집중적으로 조사, 활용하는 것이 가장 효율적인 것으로 판단된다.

생태학적인 모형은 인자의 수가 대단히 많아서 현재 우리나라에서는 그 값을 정할만큼 자료가 수집되어 있지 않으며, 가까운 장래에 그 모든 인자의 값을 정확하게 규명하는 것도 어려운 여건이다.  그러므로 예민도 분석으로부터 이 인자들의 중요도를 조사하여 조사의 우선순위를 정할 필요가 있을 것이다.

예민도 분석은 입력치의 변화에 따른 결과치의 변화를 평가하는 것으로써 어느 시스템 내에서 관련인자를 정확히 파악할 수 없을 경우 적정치를 계산하거나, 입력 자료의 변화가 결과 치에 미치는 영향 등을 평가할 때 또는 예민도 분석을 통해 유용한 자료를 도출하거나 투자할 만한 가치가 있는 자료를 도출하고자 할 때 사용된다.

<표 6.1-1>은 QUAL2E에서 필요로 하고 있는 시스템파라미터 즉 반응계수들의 종류와 대표적인 범위를 나타내고 있다. <표 6.1-2>는 국내외 반응계수들의 범위를 나타낸다. <표 6.1-3>은 국내에서 측정된 반응계수들이다. 본 모형에 필요로 하는 반응계수중 각 수질항목별 수질항목의 변화에 영향을 미치는 각 반응계수는 다음과 같다.  <표 6.1-4>는 용존산소에 영향을 미치는 반응계수의 범위이다.

표 6.1-1 QUAL2E에서 사용되는 반응계수들의 대표적인 범위

Variable	Description	Units	R of Values	Variable by Reach	Temperature Dependent
a0	Ratio of chlorophyll-a to algal biomass	[eqn: {ug-Chla} over {mgA}]	10 - 100	no	no
a1	Fraction of algal biomass that is Nitrogen	[eqn: {ug-Chla} over {mgA}]	0.07 - 0.09	no	no
a2	Fraction of algal biomass that is phosphorous	[eqn: {ug-P} over {mgA}]	0.01 - 0.02	no	no
a3	O2 production per unit of algal growth	[eqn: {ug-O} over {mgA}]	1.4 - 1.8	no	no
a4	O2 uptake per unit of algal respired	[eqn: {ug-O} over {mgA}]	1.6 - 2.3	no	no
a5	O2 uptake per unit of NH3 oxidation	[eqn: {ug-O} over {mgN}]	3.0 - 4.0	no	no
a5	O2 uptake per unit of NO2 oxidation	[eqn: {ug-O} over {mgN}]	1.0 - 1.14	no	no
[eqn: u _{max}]	Maximum algal growth rate	[eqn: day ^{-1}]	1.0 - 3.0	no	no
[eqn: rho]	Algal respiration rate	[eqn: day ^{-1}]	1.0 - 3.0	no	no
KL	Michaelis-Mention halfsaturation constant for lighturation (Option 1)	[eqn: BTU/ft ^{2} -min]	0.02 - 0.1	no	no
KN	Michaelis-Mention halfsaturation constant for light Nitrigen	[eqn: mg-P/L]	0.01 - 0.20	no	no
KP	Michaelis-Mention halfsaturation constant for light phosphorous	[eqn: mg-P/L]	0.01 - 0.05	no	no
λ0	Non-algal light extinction coefficient	[eqn: ft ^{-1}]	Variable	no	no
λ1	Linear algal selftshading coefficient	[eqn: {1/ft} over {ugCha-a/L}]	0.002 - 0.02	no	no
λ2	Nonlinear algal selfshading coefficient	[eqn: {1/ft} over {(ugChl-a/L) ^{2/3}}]	0.0165 (Riley)	no	no
PN	Algal preference factor for Ammonia	-	0.0 - 0.1	no	no
a1	Algal settling rate	[eqn: ft/day]	0.5 - 6.0	yes	yes

Variable	Description[eqn: {mg-P} over {ft ^{2} -day}]	Units	Range of Values	Variable by Reach	Temperature Dependent
a2	Benthos source rate for dissolved phophorous	[eqn: {mg-P} over {ft ^{2} -day}]	Variable[eqn: {mg-P} over {ft ^{2} -day}]	yes	yes
a3	Benthos source rate for ammonia nitrogen	[eqn: {mg-O} over {ft ^{2} -day}]	Variable	yes	yes
a4	Organic nitrogen settling rate	[eqn: day ^{-1}]	0.001 - 0.1	yes	yes
a5	Organic phophorous settling rate	[eqn: day ^{-1}]	0.001 - 0.1	yes	yes
a6	Ambitrary non-conservative settling rate	[eqn: day ^{-1}]	Variable	yes	yes
a7	Benthal source rate for arbitrary non-conservative settling rate	[eqn: {mg-ANC} over {ft ^{2} -day}]	Variable	yes	yes
k1	Carbonaceous deoxygenerati on rate constant	[eqn: day ^{-1}]	0.02 - 3.4	yes	yes
k2	Reaeration rate constant	[eqn: day ^{-1}]	0.0 - 100	yes	yes
k3	Rate of loss of BOD due to settling	[eqn: day ^{-1}]	0.36 - 0.36	yes	yes
K4	Benthic oxygen uptake uration constant for light (Option 1)	[eqn: {mg-O} over {ft ^{2} -day}]	Variable	yes	yes
K5	Coliform die-off rate	[eqn: day ^{-1}]	0.05 - 4.0	yes	yes
K6	Ambitrary non-conservation decay coefficient	[eqn: day ^{-1}]	Variable	yes	yes
β1	Rate constant for the biological oxidation of biological oxidation of NH3to NO2	[eqn: day ^{-1}]	0.10 - 1.0	yes	yes
β2	Rate constant for the biological oxidation of NO2 to NH3	[eqn: day ^{-1}]	0.20 - 2.0	yes	yes
β3	Rate constant for the hydrolysis of organic-N to ammonia	[eqn: day ^{-1}]	0.02 - 0.4	yes	yes
β4	Rate constant for the decay of drganic-P to dissolved-P	[eqn: day ^{-1}]	0.01 - 0.7	yes	yes

표 6.1-2 국내외 반응계수들의 자료 현황

항목	정 의	단 위	건기원	QUAL2E	국내치
a3	O2 production per unit of algal growth	[eqn: {mg-O} over {mgA}]	0.133-2.67	1.40-1.8	*
a4	O2 uptake per unit od algae respired	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.10-2.66	1.60-2.3	*
a5	O2 uptake per unit of NH3 oxidation	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.10-6.20	3.00-4.0	*
a6	O2 uptake per unit of NO2 oxidation	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.50-6.60	1.00-1.14	*
[eqn: u _{max}]	Maximum algal growth rate	[eqn: day ^{-1}]	0.20 - 11.0	1.00 - 3.0	*
ρ	Algal respiration rate	[eqn: day ^{-1}]	0.005 - 0.92	0.05 - 0.5	*
σ1	Algal settling rate	[eqn: m/day]	0.000 - 30.0	0.50 - 6.0	*
σ2	Benthos source rate for dissolved phophorous	[eqn: {mg-P} over {m ^{2} -day}]	0.000 - 1.70	Variable	*
σ3	Benthos souce rate for ammonia nitrogen	[eqn: {mg-O} over {m ^{2} -day}]	0.000 - 1.80	Variable	*
K1	Carbonaceous deoxygeneration rate constant	[eqn: day ^{-1}]	0.004 - 4.24	0.02 - 3.4	0.02 - 0.4
K2	Reaeration coeff.		0.000 - 5.60	0.00 - 100.	0.05 - 4.27
K3	Rate of loss of BOD due to settling	[eqn: day ^{-1}]	0.022 - 44.0	-0.36 - 0.36	0.20 - 8.0
K5	Coliform settling coeff.		0.003 - 0.50	0.05 - 4.0	0.10 - 4.0
K4	Benthic oxygen uptake	[eqn: {mg-O} over {m ^{2} -day}]	0.090 - 20.0	Variable	*
β1	Rate constant for the biological oxidation ofNH3 to NO2	[eqn: day ^{-1}]	0.001 - 0.40	0.01- 1.00	0.10 - 1.0
β2	Rate constant for the biological oxidation of NO2 to NH3	[eqn: day ^{-1}]	0.001 - 0.80	0.20 - 2.00	0.20 - 2.0
β3	Rate constant for the hydrolysis of drganic-N to ammonia	[eqn: day ^{-1}]		0.02 - 0.40	*
β4	Rate constant for the decay of organic-P to dissolved-P	[eqn: day ^{-1}]		0.01 - 0.70	*

표 6.1-3 국내 반응 계수 결정 현황

사업 명	K1	범 위
		최소치 최대치
한강 유역 환경보전사업	K1 K2 K3	0.02 0.35 0.05 1.83 8.0
낙동강유역 환경보전사업	K1 K2 K5 β1 β2	0.10 0.40 Lanbien & Durum 0.80 2.00 0.10 0.30 0.40 1.50
서남 해권 환경보전사업	K1 K2 K3 K5 β1 β2	0.05 0.25 0.10 O'Conner & Dobbins 4.27 0.20 0.80 0.10 4.00 0.10 1.00 0.20 2.00

표 6.1-4 용존산소에 영향을 미치는 반응계수의 범위

변수명	정 의	단 위	범 위
			최 소 치	적 정 치	최 대 치
a3	O2 production per unit of algal growth	[eqn: {mg-O} over {mgA}]	0.134	1.650	2.669
a4	O2 uptake per unit of algae respired	[eqn: {mg-O} over {mgA}]	0.901	1.640	2.570
a5	O2 uptake per unit of NH3 oxidation	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.100	4.170	6.200
a6	O2 uptake per unit of NO2 oxidation	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.630	3.110	5.595
μmax	Maximum algal growth rate	[eqn: day ^{-1}]	0.408	1.820	6.142
ρ	Algal respiration rate	[eqn: day ^{-1}]	0.016	0.050	0.479
σ1	Algal settling rate	[eqn: m/day]	0.012	1.500	5.475
σ2	Benthos source rate for dissolved phosphorous	[eqn: {mg-P} over {m ^{2} -day}]	0.000	0.120	1.700
σ3	Benthos source rate for ammonia nitroge	[eqn: {mg-O} over {m ^{2} -day}]	0.000	0.130	1.175
K1	Carbonaceous doxygenation rate constant	[eqn: day ^{-1}]	0.030	0.220	0.903
K3	Rate of loss BOD due to settling	[eqn: day ^{-1}]	0.189	0.470	5.193
K4	Benthic oxygen uptake	[eqn: {mg-O} over {m ^{2} -day}]	0.052	2.220	13.898
β1	Rate constant for the biological oxidation of NH3 to NO2	[eqn: day ^{-1}]	0.003	0.110	0.500
β2	Rate constant for the biological oxidation of NO2 to NH3	[eqn: day ^{-1}]	0.090	1.260	14.531
β3	Rate constant for the hydrolysis oxidation of to ammonia	[eqn: day ^{-1}]	0.002	0.020	0.272
β4	Rate constant for the decay of drganic-N dissolved-P	[eqn: day ^{-1}]	0.0029	0.040	1.192

<표 6.1-5>에 나타난 바와 같이 용존산소의 증감에 영향을 미치는 주반응계수는 하상의 산소섭취율, 탄소성 탈산소율, 침전에 의한 BOD 감소율 등 BOD에 관계된 계수이다.

표 6.1-5 반응계수의 변화가  용존산소에 미치는 영향

순위	항목	반응계수 변화에 대한 용존산소농도			영향계수(%)
		최대치(A)	최소치(B)	실측치(C)	│A - B│*100 C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	K4 K1 K3 μmax α3 ρ σ1 α4 β1 α5 α6 β3 β4 β2 σ2 σ3	0.00 0.00 0.38 0.23 0.21 0.25 0.27 0.26 2.58 2.62 2.63 1.77 1.76 2.19 2.65 2.65	1.20 0.75 0.20 0.17 0.17 0.30 0.29 0.27 2.68 2.68 2.65 1.76 1.77 2.20 2.65 2.65	0.19 0.19 0.19 0.09 0.19 0.29 0.29 0.26 2.65 2.65 2.65 1.76 1.76 2.20 2.65 2.65	631.50 384.70 94.70 31.60 21.05 17.24 6.90 3.85 3.77 2.26 0.76 0.57 0.57 0.46 0.00 0.00

BOD에  영향을 미치는 주 계수는 BOD 감쇄 속도 K1과 침전에 의한 BOD 손실율 K3 등인데 <표 6.1-6>에 나타나 있다.

표 6.1-6 반응계수의 변화가 CBOD에 미치는 영향

순위	항목	반응계수 변화에 대한 CBOD 농도			영향계수(%)
		최대치(A)	최소치(B)	실측치(C)	|A - B|*100 C
1 2	K1 K3	2.15 1.32	0.65 0.18	1.46 1.46	102.74 78.06

질소/인에 영향을 미치는 계수들은 본 대상하천의 경우 그 영향율이 극히 적기 때문에 이런 계수들은 고려하지 않았다.

DO의 경우 입력자료의 최대, 최소치 변화에 따른 DO의 변화폭은 0-630%였으며 항목별로 보면 K4, K1, K3 등 CBOD와 관련된 반응계수가 95-632%로써 입력치의 변화에 따라 DO의 변화폭이 심한 것으로 나타났고 다음으로는 μmax, α3, ρ 등 조류와 관련된 반응계수가 7-32%로써 DO에 영향을 미치는 것으로 나타났다.  질소, 인을 의미하는 반응계수 σ2와 σ3를 제외하고는 거의 모든 반응계수가 DO에 영향을 미치고 있어 DO의 정확한 예측을 위해서는 거의 모든 반응계수에 관한 자료가 입력되어야 함을 알 수 있으나, K4, K1, K3 등 CBOD와 관련된 반응계수가 DO에 큰 영향을 미치고 있으므로 이에 대한 자료만이라도 정확히 입력된다면 결과치에 대한 신뢰도는 상당히 높아질 것으로 기대된다.

따라서 K4 등 국내에 자료가 거의 없는 반응계수에 대해서는 필히 측정 또는 조사되어야 할 것으로 사려 된다.

탄소성 생화학적 산소요구량(Carbonaceous BOD)의 경우 농도에 영향을 미치는 주요 반응계수는 탈산소계수 K1과 BOD침강계수 K3였으며 다른 반응계수의 변화는 CBOD농도에 전혀 영향을 미치지 않았다.  또한 K1, K3의 최대, 최소치의 입력 변화에 따른 BOD의 변화폭은 103%, 78%로 K1이 K3보다 조금 더 큰 영향을 미치고 있었으며 DO에 영향을 미치는 주요 반응계수와 비교해 볼 때 K1, K3 모두 DO에 미치는 영향보다는 다소 적게 나타났고 DO에 큰 영향을 미쳤던 K4도 CBOD농도에 영향을 전혀 미치지 않는 것으로 나타났다.

6.2  파라미터 STUDYⅠ - DO, BOD의 영향인자들

장래의 수질변화를 예측하는 수질인자로서 DO와 BOD를 많이 사용한다.  DO는 수질을 평가하기 위한 인자로서 널리 이용되고 있는 항목이며 BOD, NH3-N 등의 영향을 받으나 반면 DO 농도에 의해서 다른 수질인자의 농도도 영향을 받는다.

BOD, DO에 관한 유속 및 확산에 의한 이동을 제외한 물질평형식과 파라미터에 대한 설명은 다음과 같다.

DO문제는 수역으로의 산소요구물(오염물)의 투입으로부터 시작된다.  수역자체에서의 DO의 공급원은 다음과 같다.

1. 공기로부터의 재폭기

2. 광합성으로부터의 산소 생산

3. 유입되는 지류나 유출물에서의 DO 유입

소비원은 다음과 같다.

1. 탄소성 오염물의 산화

2. 질소성 오염물의 산화

3. 하상의 침전물의 산소 요구

4. 수생식물의 호흡작용에 의한 산소의 이용

용존산소는 재폭기 및 조류의 광합성에 의해 증가하고, 탈산소, 하상퇴적물, 암모니아성 질소 및 아질산의 산화에 의해 감소한다.

DO의 일반적 물질 평형식은 다음과 같이 쓰여 질 수 있다.

V(dc/dt) = 재폭기 + (광합성 - 호흡작용)

- CBOD, NBOD(투입되는)의 산화

- 침전물의 산소 요구량 + 산소 투입량

- 산소 운반(침전물로 들어가고 나오는)

여기서, V는 수체의 부피이고, c는 DO의 농도이다.

[eqn: {dO} over {dt} =K _{2} (O ^{*} -O)+(au-a _{4} rho )A-K _{1} L-K _{4} `/d-a _{5} ` beta _{1} N-a _{6} ` beta _{2} N]

여기서, O는 용존산소의 농도이고, O*는 주어진 온도 및 압력하의 포화산소농도이며, α3는 조류의 광합성에 의한 산소생산량이고, α4는 조류의 호흡에 의한 산소 감소율이며, α5는 암모니아성 질소의 산화에 따른 산소소모율이며, α6는 아질산의 산화에 따른 산소소모율이며, K4는 하상퇴적물에 의한 산소감소율, β2는 아질산의 산화율, β1는 암모니아 산화율을 나타낸다.  그러나 본 대상하천의 특성상 K2, K1, 그리고 K4만을 주요인자로 보고 그것만을 고려하기로 한다.

그러므로 K2, K1, 그리고 K4에 대해 집중적으로 알아보기로 한다.

CBOD(탄소성 생물학적 분해가능 오염물)는 탈산소(BOD 분해) 및 침전에 의해 감소한다.

[eqn: {dL} over {dt} =-K _{1} L-K _{3} L]

여기서, L는 CBOD의 농도, K1은 탈산소율, K3는 침전에 의한 감소율이다.

또한 BOD에 미치는 영향 K1,K3에 대해 알아본다.

6.2.1 DO에 영향을 미치는 주요인자들

1) 재폭기 계수( K2 )

하천의 재폭기계수는 하천의 유속, 수심, 수면구배, 수온 등에 의해서 다르다.  Streeter-Phelps는 재폭기계수의 온도 변화를 다음 식으로 표현하였다.

K2(T') = K2(T)θ

여기서,	K2(T') : T'(˚C)에 있어서의 재폭기계수(1/d)

K2(T) : T(˚C)에 있어서의 재폭기계수(1/d)

θ : 온도 보정계수(범위 : 1.015 - 1.047)

Fair는 온도 1˚C의 변화에 의해서 K2가 4.7%식 변화한다고 보아 온도 보정계수(θ)를 1.047로 하였다.

K2(T) = K2(20˚C).1.047(T-20)

Metcalf와 Eddy는 온도 보정계수로서 1.024를 제안하고 있다.

20˚C에 있어서의 재폭기계수(K220)을 산출하기 위하여 수많은 방정식이 제안되고 있으나 원래 QUAL2E에서는 다음과 같은 방정식이 사용되고 있다.

① Churchill, Elmono and Buckingham(1962)

가장 광범위하고 정확한 측정치를 근거로 하였다고 판단되는 방정식이다.  K220은 다음 식으로 구할 수 있다.

K220 = 2.718U-0.969 . D-1.673

여기서,  U : 하천의 평균유속(m/s)

D : 하천의 평균수심(m)

② O'Connor and Dobbins (1958)

난류특성을 고려한 방정식으로서 유속이 느리고 등방성의 경우에 다음 식으로 표현된다.

[eqn: K _{2} ^{`20} = {(Dm BULLET U) ^{1/2}} over {D ^{1/5}} `*`1.346]

유속이 빠르고 비등방성인 경우에는 다음과 같다.

[eqn: K _{2} ^{``20} = {357 BULLET Dm ^{1/2} BULLET S _{`0} ^{1/4}} over {D ^{1.25}} `*`2.31]

여기서,   S0 : 하상구배

D : 평균수심(m)

U : 평균유속(m/s)

Dm : 분자확산계수(m2/day) [=1.77*102(1.037)T-20]

등방성 조건이란 Chezy계수가 17이상으로 되는 경우를 말하며, 17미만일 경우는 비등방성조건이 된다.

③ Owens, Edwards and Gibbs(1964)

유속이 0.03 - 1.5m/s, 수심이 0.1 - 3.35m인 하천에 있어서의 K220로서 다음 식으로 주어진다.

[eqn: K _{2} ^{20} -2.3 BULLET U ^{0.67} /D ^{1.85} `*`2.31]

④ Thackston and Krenkel(1966)

Tennesee주에 속하는 몇 개의 하천을 대상으로 하여 얻어진 K220치이며 다음 식으로 주어진다.

[eqn: K _{2} ^{20} =10.8 BULLET (1+F ^{`0.5} )` {U ^{*}} over {D} `*`2.31]

여기서,    F : Froude 수	f = U*/√gD

U* : 전단속도 (m/s)

[eqn: U ^{`*} =D BULLET Se BULLET g= {U BULLET n LOR g} over {D} `*1.167]

g : 중력가속도 (m/s2)          n : Manning 계수

⑤ Isaacs(1964)

[eqn: K _{2} ^{``20} =11.8``*U```*`H ^{```-1.5}]

2) BOD 분해능 계수 (탈산소 계수, K1)

유수 중의 유기물의 산소소비의 주원인을 생물화학반응이라고 볼 때, 유기물에 의한 오염량은 BOD로 나타내는 경우가 많다.

생물체의 농도를 S 라고 하고 최종 BOD를 L로 표시한다.  만약에 L의 농도가 충분할 경우에는 미생물의 증식은 S의 증가에 비례하여 반응이 진행된다.  즉, 비증식속도를 K1이라고 하여

[eqn: {dS} over {st} =K _{1} S,]	[eqn: S=S _{`0} `e ^{k`t}]                           (1)

L이 작을 때는 증식속도는 L에 비례해서 증가하며 다음 식으로 표시된다.

[eqn: {dS} over {dt} =K _{2} SL]                                                (2)

여기서, L1 = K1/K2로 하고 L > L1일 때는 (1)식이 성립되고 L < L1일 때는 (2)식이 성립할 것 같으면, 임의의 BOD값에 대해서 다음 식이 성립된다.

[eqn: {dS} over {dt} = {K _{1} SL} over {L+L _{1}}]                                              (3)

식 (3)은 산소반응력학에 있어서의 Michelis-Menton의 식과 같은 형식이 된다. 지금 섭취된 최종 BOD(L)가 생물체내의 농도 S가 되는 비율을 α라고 하면

[eqn: dS=-adL]                                                        (4)

(4)의 식이 성립된다고 하면, 식(1)에 대응하는 BOD의 변화는 다음과 같은 식이 된다.

[eqn: L=L _{0} {S _{0}} over {a} (e ^{-kt} -1)]                                                 (5)

식(2)에 대해서는

[eqn: L=L _{0} LEFT ( L _{0} + {S _{0}} over {a} RIGHT ) / LEFT [ L _{0} + {S _{0}} over {a} exp LEFT [ K _{2} (L _{0} + {S _{0}} over {a} )t RIGHT ] RIGHT ]]                       (6)

식(3)에 대해서는

[eqn: LEFT ( L _{1} +L _{0} + {S _{0}} over {a} RIGHT ) ln LEFT [ {L _{0} +(S _{0} /a)-L} over {S _{0} /a} RIGHT ] L _{1} BULLET ln LEFT ( {L} over {L _{0}} RIGHT ) =K _{1} LEFT ( L _{0} + {S _{0}} over {a} RIGHT ) t]        (7)

지금, 식(7)에 있어서 L <L0 < S0일 것 같으면

[eqn: L=L _{0} `exp LEFT ( -K _{2} {S _{0}} over {a} t RIGHT ) =L _{0} `e ^{`-kt}]                                        (8)

로 된다.  이것은 S = S0 = 일정하다. 즉, BOD가 낮고 사실상 생물의 증식을 무시할 수 있을 때에는 BOD반응은 다음과 같은 1차식이 된다.

[eqn: {dL} over {dt} =-KL]

탈산소 계수는 실험실에서 측정하거나 또는 현장에서 구할 수가 있으나 양자간의 K는 상당한 차가 있다는 것이 많은 연구자에 의해서 지적되고 있다.

실험실에서는 일정시간 간격을 두고 BOD의 변화를 측정하여 탈산소계수를 구할 수가 있다. 이 자료를 이용하여 탈산소계수를 구하는 방법으로서는 Least Square Method, Slope Method, Moment Method, General Laboratory Method 및 Simple Graphic Method 등이 있다. 이 중에서 General Laboratory Method와 Simple Method를 이용하여 K1을 구했더니 General Laboratory Method법 쪽이 매우 적합한 방법이라는 것을 알 수 있었다.

General Laboratory Method는 Syracus 대학을 위시하여 각 실험실에서 실제로 응용되고 있는 방법이다. BOD 측정결과를 반대수지위에 도시하는 것으로써 종축에 BOD를 횡축에 시간을 취하여 직선회귀방정식을 구하여 탈산소계수를 구한다.  이 방법을 이용하는 데 있어서는 식수초기에 BOD L0를 우선 결정하고 식수의 BOD의 경일 변화를 시간에 대해서 도시한다.

3) 침전물 산소 요구량 (Sediment Oxygen Demand, K4)

K4와 관련된 SOD에 대해서는 다음과 같이 설명할 수 있다.  침전 가능한 폐기물의 방류는 결국 슬러지 퇴적이나 폐기물 배출구 밑 근처에 유기물질의 침전 형태로 될 수 있다.  유속이 강이나 하구 바닥을 씻어낼 수 없을 만큼 낮다면 이들 침전물은 체류시간 동안에 쌓이게 된다.  침전 고형물의 깊이에 따라 더 깊은 층에서 유기물의 혐기성 분해가 시작된다.  이 분해산물 CO2, CH4, H2S가 슬러지층을 통해 위로 발생한다.  가스 생산량이 특별히 많다면 sludge가 바닥을 부유하고 순간적인 DO고갈뿐만 아니라 심각한 심미적인 문제를 야기 시킬 수 있다.  대개 물과 직접적으로 접하는 바닥 침전물의 표면층은 호기성 분해를 일으키고, 그 과정에서 수면으로부터 공급되는 산소를 감소시킨다.  즉, DO는 호기성 산화로 인해 침전물의 표면층으로 분산해 들어간다.

일부 강과 하구에 대하여, 고형물의 침전은 유량이 적은 여름과 유속이 낮은 가을 동안에만 일어난다.  유량이 많은 다음 해 봄은 깨끗하게 바닥을 씻어내고 유속이 다시 감소할 때까지 침전물에 의한 오염문제는 감소한다.  중간 경우의 유량이 큰 곳에서는 단지 침전물을 일부만 씻어내고 일부를 산화, 다른 지역에서 물질을 재침전 시키는 것이 일반적이다.

침전물 산소요구량(SOD)은 항상 오수나 산업 슬러지 때문이 아닐 수도 있다.  용해성 유기폐수는 가끔 산소의 실질적인 양을 회수할 수 있는 Sphaerotilus와 같은 고착 사상균의 성장 결과일지도 모른다.  뿌리를 가지고 있는 수생식물의 사멸과 자연 수량에 유기퇴적물 및 잎들은 침전 유기물에 기여할 수 있는 데 침전 유기물은 안정화를 위해 산소를 요구한다.  결국, 부영양화 체제(특히 호수)내에 식물성 플랑크톤의 침전은 중요한 SOD수준이 될 수 있다.  따라서, 바닥의 상태는 오수의 침전물 깊이나 산업폐수 발단(몇 ft의 깊이는 점오염원 및 결합 하수구 월류로부터 관찰된다.)에서 식물발단 물질의 비교적 얕은 침전물 및 깨끗한 암석이나 모래에 이르기까지 변화를 준다.  따라서 바닥 침전물에 의한 산소 이용은 유기물의 정도와 저층군체의 특성에 따른다.

현장측정에는 바닥에 있는 우묵한 곳의 침몰 및 시간에 대한 O2흡수력의 측정을 수반한다.  실험실 측정은 산화된 물을 담고 있는 큰 용기에 시료를 넣고 강바닥(적당히 조용한)의 시료를 제거함으로써 이루어진다.  시간에 대한 DO 환원은 바닥 진흙의 섭취량을 측정한다.  결과는 보통 g O2 섭취량/m2.day로 나타낸다.

최초 SOD의 중대한 연구 중 일부가 Baity(1983)와 Fair등 (1941)에 의해 이루어졌다.  현장측정은 최근 수많은 수계에 대하여 행해지고 있다.

다음 <표 6.2-1>은 SOD값의 범위를 요약한 것이다.

표 6.2-1 침전물 산소 요구 값

바닥 형태와 위치	20˚C에서의 SOD([eqn: gO _{2} /m ^{2} /day])
	범위	대략의 평균
Sphaerotilus-(10g 건조 무게/m2) 도시 오수 슬러지-배출구 부근 오래된 도시 오수 슬러지, 배출구의 저류 큰 강어귀의 진흙 모래 바닥 광물 토양	- 2-10.0 1-2 1-2 0.2-1.0 0.05-0.1	7 4 1.5 1.5 0.5 0.07

g O2/[eqn: m ^{2} /day]의 요구량이 바닥 표면적으로부터 소비된다. 따라서 총 유량은

[eqn: S _{acute{B}} = {S _{B} `A _{B}} over {V} = {S _{B}} over {H} `]	혹은	[eqn: S _{acute{B}} = {S _{B}} over {A/P _{B}} = {S _{B}} over {LEFT ( R _{H} RIGHT ) _{B}}]

여기서,   SB : SOD[M/L2.T]

AB : 제공하는 바닥 면적 [L2]

V : 수체위에 있는 체적[L3]

SB' : 산소 요구량 [M/L3.T]

A : 단면적 [L2]

PB : 바닥 침전물과 수계의 접촉 길이 [L]

(RH)B : 유효한 수리학적 반경 [L]

온도 영향은 다음 식으로 표현된다.

[eqn: LEFT ( S _{B} RIGHT ) _{T} = LEFT ( S _{B} RIGHT ) _{20} LEFT ( theta RIGHT ) ^{T-20}]

에 의해 대략 10-30˚C 범위 내에 있다.  여기서 온도 계수 θ는 1.040-1.130 (Zison 등, 1978)의 범위를 가진다.  1.065의 값이 자주 사용된다.  10˚C이하에서 SOD는 식에 나타난 것보다 더 빨리 감소하고 0-5˚C수온에서 0에 접근한다.

침전물의 깊이는 흡수율이 이런 인자들에 의존하기 때문에 중요하다. Oldaker 등(1966)은 완전 안전화에 필요한 최종 산소량의 계산과 1.5-2.0cm 범위에 대한 침전물(가정 오수로부터 나오는 침전물)의 깊이에 대한 직선관계를 세웠다.  다른 연구들(Owens 등, 1964과 Fillos & Molof, 1972)은 흡수력(uptake)은 약 2 - 8cm보다 큰 깊이에 대한 슬러지 깊이에는 관계가 없다는 것을 지적하였다.

일반적으로 대부분 계산에 대하여 흡수율은 2 - 5[eqn: mg/l] DO 범위에 대하여 Baity(1938)에 의해 결론지어진 것처럼 물 위에 있는 산소 농도는 무관하다고 추측하였다. 그러나, Edwards & Owens(1965)는 흡수율이 약 0.45 배의 DO만큼 변한다고 지적하였다.

Fillos와 Molof(1972)의 자료는 7.6cm 슬러지 깊이에 대하여 다음 관계가 된다.

[eqn: S _{B} = LEFT ( {c} over {0.7+c} RIGHT )]

여기서,   [eqn: S _{B} (g/m ^{2} ),``c(mg/l)=DO]

이 관계는 c > 3mg/l에 대한 SB의 무관함을 나타내고 0.7mg/l DO에서 그것의 최대값 절반에 있다.

2차 폐기물 처리 수준과 고도 폐기물 처리 수준이 증가함에 따라, 총 발생량, 미처리 오수 유래의 독성 슬러지 침전물은 증가한다.  그럼에도 불구하고 순간 처리장 보조 수로와 결합 하수구 월류는 여전히 수저 생물 요구량에 기여할 수 있다.  게다가, 용해성 폐기물과 용해성 물질의 부수적인 효과는 SOD에 기여할 수 있는 박테리아의 성장과 고등식물 성장을 일으킬 수 있다.

6.2.2 BOD에 영향을 미치는 인자들

(1) K1 은 앞에서 설명하였으므로 생략한다.

(2) 일반적으로 유기성 오염물질의 호기성 조건에서의 K3 (침전에 의한 감소)에 의한 산소소비는 10일전 후에 변곡점을 갖는 곡선이 된다.  이유는 우선 탄소화합물의 분해가 일어나고 다음에 질소화합물의 분해가 일어나기 때문이다.  전자를 CBOD 후자를 NBOD라 하는데 유기물질의 농도가 높을 때는 질화 작용의 억제로 인해 NBOD는 나타나지 않는다.

한편 CBOD는 유기탄소를 에너지원으로 하는 Heterotrophic 미생물에 의해 작용되고 대부분의 강, 호소들은 상당량의 Heterotrophic 생물체를 함유한다.

Qual2e에서는 CBOD를 고려하였고 그것은 앞의 식에서 보는바와 같이 K1과  K3에 의해 크게 좌우됨을 알 수 있다.

6.3  파라미터 STUDY Ⅱ

6.3.1 K2와 수두유량의 영향

shin1.dat의 입력 자료에서 수질에 영향을 미치는 주요인자들만을 보면 우선 K2는 4.5를 K1은 0.55로 K3, K4 등은 각각 0을 입력시켰다. 또한 수두에서의 유량은 0.5로 입력되어 있었다. 유량은 잘못 입력된 것으로서 앞으로의 모든 입력 자료는 유량의 영향을 알아보기 위한 자료를 제외하고는 모두 2.0으로 할 것이다.  제일 처음의 작업은  QUAL2E모형에서 이용 가능한 K2의 8가지 계산공식 중 환경보전 장기 종합계획 시 우리나라의 하천의 DO농도에 가장 적합한 공식으로 밝혀진 Lanbein & Drunm 공식 - 옵션 6 등을 이용하여 SHIN1자료의 K2에 바꿔 입력하고 모의실험을 한다.

결과 DO값은 shin1의 결과보다 올라가는 추세였다.  또한 수두유량을 0.5에서 2로 변화시켰을 때 역시 DO가 올라가는 것을 알 수 있었다. 유량에 의한 변화보다는 K2에 의한 변화량이 많은 것도 볼 수 있다. 한편 수두유량의 영향을 알아보기 위해  수두유량을 3으로 변화시켰을 때는 아주 약간의 변화가 있었다.(DO가 약간 올라감) K2는 DO에 큰 영향을 미치고 있으며 이에 비해 수두유량은 DO에 적은 영향을 나타낸다.

BOD의 변화정도를 살펴보면 K2를 옵션 6으로 입력했을 때 shin1의 결과와 거의 유사함을 볼 수 있다. shin1의 결과를 보정작업이 끝난 것이라 본 다면 K2값의 계산방법 중 옵션 6은 좋은 결과를 볼 수 있고 대상하천에도 잘 맞는다는 것을 알 수 있다.  그러나 DO의 결과에서는 차이가 있기 때문에 K2의 계산방법은 다시 한 번 고려할 필요가 있다.  이 문제에 대해서는 후에 8가지 방법을 모두 실험해 봄으로써 궁금증을 풀어 보기로 하고 여기서는 거론하지 않기로 한다. 수두유량을 0.5에서 2로 입력했을 때 BOD의 변화는 많은 폭으로 감소함을 나타낸다. 그러므로 유량은 BOD변화에 큰 영향을 미치고 있으며 민감도가 크다고 하겠다.

결론적으로 BOD는 수두유량에 민감하게 반응하며 DO는 K2의 변화에 더욱 민감하다.

S H I N	K1=0.55	BOD	62.3	60.73	58.91	57.84	56.79	74.86	74.12	70.54
	K2=4.5
	K3=0
		DO	3.5	3.1	2.9	2.7	2.7	2.4	2.2	1.9
	K4=0
	수두유량=0.5
1	K1=0.55	BOD	62.27	60.73	58.91	57.84	56.79	74.86	74.12	70.54
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.46	5.48	5.38	5.37	5.37	5.37	4.36	4.23
	K4=0
	수두유량=0.5
2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	27.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
3	K1=0.55	BOD	35.5	34.9	34.3	33.9	33.5	43.4	43.1	42.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.3	5.48	5.6	5.6	5.7	5.3	5.3	5.1
	K4=0
	수두유량=3.0

6.3.2 재폭기계수 K2 의 영향

이번 단계에서는 DO에 가장 큰 영향을 미친다고 할 수 있는 K2의 민감도에 대해 실험하기로 한다.  우선 비교할 기준은 shin1자료에 의한 결과이고 K2의 shin1의 K2값의 50%씩을 증감시킨 값 2.25와 6.75를 입력하여 결과를 얻는다.  유량이 shin1 자료와 달라서 엄밀한 의미에서는 비교가 객관적이지 못하지만  QUAL2E에서는 K2등 다른 여러 계수가 독립성을 가지고 있으므로 각 계수에 대한 영향값은 구별해 내기 쉬운 편이다. 다음 표를 보면 K2의 QUAL2E의 대표적인 범위는 1 - 100이고 국내 치는 0.02 - 4.00 이다.

shin1자료에서 수두유량을 2로 바꿔 넣어주고 K2를 각각 2.25, 6.75를 넣어주고 결과를 shin1결과와 비교하면 2.25와 6.75의 변화는 거의 일치함을 볼 수 있고 shin1결과 보다는 BOD값이 많이 떨어졌음을 알 수 있다.  이것은 앞의 실험에서도 볼 수 있었듯이 유량에 의한 영향임을 쉽게 추측해 낼 수 있다.  K2는 BOD의 변화에는 거의 아무런 영향력이 없음을 알 수 있다.

그러나 DO에 있어서는 K2가 2.25 (50%감소)일 때 shin1(K2=4.5)보다 떨어졌으며 K2가 6.75(50%증가)일 때 올라갔다. 변화폭도 크게 나타났고 증감폭이 각각 50%임에도 불구하고 비례적으로 DO가 변화하지 않은 것으로 보아 다른 인자가 작용했을 것으로 추측된다. 유량의 영향이 아닌가 싶다.

결론적으로 BOD는 K2에 거의 영향을 받지 않으며 DO는 K2에 지대한 영향을 받음을 알 수 있다. DO는 K2값에 아주 강한 비례의 성질을 가지며 BOD에서는 이와 반대로 K2값에 약한 반비례의 성질을 가진다.

4	K1=0.55	BOD	39.9	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=2.25
	K3=0
		DO	2.32	2.12	1.9	1.8	1.7	1.6	1.5	1.2
	K4=0
	수두유량=2.0
2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
5	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=6.75
	K3=0
		DO	4.8	5.0	5.2	5.3	5.4	5.1	5.1	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0

6.3.3 탈산소계수 K1의 영향

탈산소계수 K1 역시 DO에 현저한 영향을 미치는 계수로 평가되고, 그 범위는 다음 표에서 볼 수 있듯이 0.02에서 3.4로 K2보다는 그 범위가 좁다. 이번 단계의 실험부터는 shin1의 자료에서 수두유량 및 재폭기계수 K2만을 변화시켜 수두유량을 2로 고정하고 K2를 option6으로 고정하여 이것을 STND자료로 부를  것이다.  여기서 비교하고자 하는 K1의 영향은 STND의 K1값 0.55에서 약 50%씩 증감시켜, K1값을 각각 0.3와 1.0을 입력하여 그 영향도를 조사한다.

여기서 비교하고자 하는 K1값에 STND자료에서 50% 증가시킨 값 1.0을 입력하였을 때 BOD의 변화는 작아서 STND의 결과와 아주 유사하고 BOD값이 적어진다.  STND 자료값에서 50%감소시킨 0.3을 입력하면 결과치의 변화폭은 역시 적고 BOD는 높아진다.

반면 DO의 영향에서는 BOD와는 달리 변화폭이 크고 0.3을 입력하면 BOD

STND보다 낮아지고 1.0을 입력하면 STND보다 높아진다.

따라서 BOD에서는 K1값이 커지면 약간 커지고 작아지면 약간 작아지는 약한 비례의 성질이, DO에서는 K1값이 커지면 아주 작아지고 K1값이 작아지면 아주 커지는 강한 비례의 성질을 나타낸다.

6	K1=0.3	BOD	40.8	40.4	39.9	39.7	39.4	51.9	51.7	51.2
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	6.1	6.4	6.6	6.7	6.8	6.3	6.3	6.2
	K4=0
	수두유량=2.0
2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
7	K1=1.0	BOD	38.5	37.3	35.8	35.8	34.2	46.6	45.9	4.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	4.8	4.7	4.4	4.4	4.3	3.7	3.5	3.1
	K4=0
	수두유량=2.0

6.3.4 침전에 의한 BOD감소율 K3의 영향

침전에 의한 BOD감소율 K3는 다음 <표>에서 볼 수 있듯이 건설기술연구원의 자료에 의하면 그 범위는 0.000 에서 5.6까지, QUAL2E의 대표적인 K3 값의 범위는 -0.36에서 0.36까지 이고 국내 치는 0.2에서 8까지로 그 범위가 다소 넓다.  - K2의 범위 0에서 100까지(QUAL2E의 대표값)에 비하면 좁고, K1의 범위(QUAL2E의 대표값: 0.02 - 3.4)에 비하면 넓다.  <표 4>를 보면 DO에 영향을 미치는  K3의 적정치가 0.47이기 때문에 우리가 모의실험 할 값은  적정치 0.5(0.47), 그리고 적정치를 기준으로 0.5씩 증감시킨 0.0과 1.0씩을 각각 입력한다.

K3를 0.0, 0.5, 1.0 등으로 증가시킴에 따라 DO는 증가추세를 보였고 BOD는 감소추세를 보였다.  증가폭은 DO가 아주 미세한 변화를 보였고 BOD는 DO의 변화보다는 약간 큰 폭으로 증가하였다.

이것으로 보아 K3는 DO 보다는 BOD에 더 큰 영향을 미치고 있음을 알 수 있었다.

2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
8	K1=0.55	BOD	38.4	37.1	35.6	34.7	33.8	46.2	45.5	44.3
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.7	5.8	5.9	5.9	6.0	5.4	5.4	5.2
	K4=0
	수두유량=2.0
9	K1=0.55	BOD	36.8	35.0	33.0	31.8	30.6	42.9	42.0	40.4
	K2=OPT6
	K3=1.0
		DO	5.7	5.9	6.0	6.1	6.1	5.6	5.5	5.4
	K4=0
	수두유량=2.0

6.3.5 K4의 영향

계수연구의 마지막 단계인 K4를 보기로 한다. 건설기술연구원의 자료에 의하면 K4의 범위는 0.00에서 44.0까지 이고 사용 할 계수는 0.00, 0.5, 1.0, 5.0 등이다.

K4의 영향은 BOD에 관해서는 아주 없고 DO에 대해서도 거의 없다.  다만 K4계수를 0.0, 0.5, 1.0 등의 작은 값들과는 달리 계수에 큰 변화를 주었을 때만 DO에 조금 변화가 있었다. 그리고 그 값은 K4가 커질수록 DO가 떨어지는 것을 볼 수 있다. 건설기술연구원 자료에서 볼 수 있듯이 K4계수는 BOD나 DO의 영향은 적으나 계수의 범위가 넓은 것이 그 특징이라 할 수 있다.

2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
10	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.5	5.7	5.7	5.7	5.7	5.2	5.1	4.9
	K4=0.5
	수두유량=2.0
11	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.4	5.6	5.6	5.6	5.6	5.1	5.0	4.8
	K4=1.0
	수두유량=2.0
12	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	4.8	4.8	4.7	4.7	4.7	4.2	4.1	3.9
	K4=5.0
	수두유량=2.0

6.3.6 K2 의 최적공식선택 : option 1-8

제일 첫 단계의 보정결과에서 보면 shin1의 결과와 거기에 K2만 option6으로 입력했을 때의 결과를 보면 BOD는 거의 일치하는 것으로 opt6이 잘 맞는 것을 알 수 있으나 DO의 결과에서는 그림에서도 볼 수 있듯이 shin1의 결과와 차이가 많이 남을 알 수 있다. shin1에서의 K2값을  여러 가지 결과들과의 비교를 통해 그리고  4장의 <보정그림>를 통해 알 수 있듯이 보정이 잘 된 값이고 이것을 실측치라고 보았을 때  K2의 opt6은 DO의 차이 때문에 좋은 방법이라 할 수 없다.  그래서 이번 단계에서는 K2 option의 방법들을 전부 입력하여 실험해 봄으로 가장 본 대상하천에 잘 맞는 보정방법을 알아보는 것이 목표이다.  이런 실험을 하는 또 다른 목적은 K2의 값을 변수로 입력하게 되면 여러 번 보정과정을 거처야 하는 불편함을 덜기위해서이다.  실측치로 가정하는 shin1의 DO결과와 STND(수두유량만 0.5 ⇒ 2.0)의 결과는 거의 같으므로 STND(opt1)의 결과와 option 2-6의 결과를 비교하기로 한다.

BOD에 있어서는 거의 모든 값들이 가정실측치 STND와 일치하고 있어 BOD보정에서는 모든 option이 적합하겠다.

그러나 DO에 있어서는 그 값들이 차이를 나타내고 있다.  option1에서 option4 그리고 option6은  STND를 상회하여 몰려있었으며 option7,8은 거의 0 값을 나타낸다.  오직 option5만이 STND와의 일치를 보여주고 있다.

그러므로 DO에 영향력이 가장 큰 계수 K2의 option에서는 option5의 Thachston and Krenkel공식이 가장 적합한 것으로  판단된다.

2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
10	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.5	5.7	5.7	5.7	5.7	5.2	5.1	4.9
	K4=0.5
	수두유량=2.0
11	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.4	5.6	5.6	5.6	5.6	5.1	5.0	4.8
	K4=1.0
	수두유량=2.0
12	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	4.8	4.8	4.7	4.7	4.7	4.2	4.1	3.9
	K4=5.0
	수두유량=2.0

6.3.7 침전물에 의한 영향

이번 단계에서는 침전물에 의한 영향을 알아보기 위해 하는 실험으로서 침전물의 영향계수들을 고려하지 않고 향후 침전물로 쌓일 것으로 예상되는 점오염원의 약 10%만을 고려하여  침전물의 영향실험을 한다.  즉, 침전물의 부하를 간편하게 계산하기 위해 0.1 * C * Q 의 공식을 사용하여 QUAL2E의 점 오염부하 항목에 자료를 입력 한다. 실험의 자료는 STND와 점오염부하의 110%값을 대입하여  비교분석하였다.

침전물의 오염 영향을 고려해준 결과 BOD의 곡선 형태는 거의 유사하지만 BOD가 늘어나는 경향을 알 수 있었다. 점오염원이 10%증가했음에도 불구하고 DO에는 영향이 없는 것으로 나타났다. 한편, 하류로 갈수록 DO가 약간 떨어지고 있음을 알 수 있다.  보통의 DO곡선이라면 SAG곡선이 나와야한다. 그러나, 본 대상 하천의 특성상 수질이 상당히 좋지 않고 하천의 길이가 짧아 재폭기 될 만한 충분한 시간이 되지 못해서 자정작용의 효과를 보고 있지 못하기 때문이라고 추측된다.

한편, 이번 실험으로서 BOD부하에 의한 BOD 및 DO의 영향도 알 수 있다.  즉 BOD가 10%증가 했을 때 DO보다는 BOD에 그 영향력이 크다는 것이다.

6.3.8 영향도 평가

본 단계에서는 K1, K2, K3, K4, 유량, BOD부하의 DO 및 BOD에 관한 영향도를 평가한다. 이 계수들은 각각 BOD와 DO에 미치는 영향이 다르다고 할 수 있는데, 구체적으로 말한다면 K1, K3 그리고 유량은 BOD에, K2, K1, K4 그리고 유량은 DO에 영향을 미친다고 볼 수 있다.

본 절에서는 이 영향도를 다음과 같은 방법으로 평가한다.  DO에 영향을 미치는 먼저 영향인자(계수, 유량 등)의 변화비에 따른 DO의 변화비를 백분율로 나타낸다.  즉 DO변화율 나누기 영향인자의 변화율이다. 이 방법을 택한 것은 계수와 DO농도의 차원(단위)이 다르기 때문에 각각의 계수와 DO농도와의 상관관계를 객관적으로 평가 할 수 있다고 판단되기 때문이다. 이것은 영향인자나 DO농도를 모두 무차원으로 바꿔 비교할 수 있기 때문이고 영향력의 범위는  모두 0.0에서 100까지이다. 이러한 영향도의 변화를 도식화하기 위하여 인자 DO농도에 비례하면 양의 값으로, DO농도에 반비례하면 음의 값으로 나타낸다.

영 향 인 자			DO		영향도 %
항 목	입 력 값	변 화 율	최대변화값	변화율
K1	0.3 / 1.0	2.33	6.8 / 4.8	0.42	18.0
K2	2.25 / 6.75	2.0	2.32 / 5.4	1.33	66.5
K3	0.5 / 1.0	1.0	6.0 / 6.1	0.016	1.6
K4	0.5 / 5.0	9.0	5.7 / 4.8	0.19	2.08
Q	0.5 / 2.0	3.0	5.48 / 5.8	0.058	1.9
BOD		0.1	4.0 / 3.9	0.256	2.56

BOD에 영향력이 강한인자로는 K1, K3를 제외하고는 영향력이 작으므로 이 인자들만 고려하여 그 영향도를 구한다.  방법은 DO의 영향도와 마찬가지이다.

영 향 인 자			DO		영향도 %
항 목	입 력 값	변 화 율	최대변화값	변화율
K3	0.5 / 1.0	1.0	46.2 / 42.9	0.0769	7.69
K1	0.3 / 1.0	2.33	51.9 / 46.6	0.113	4.9

위의 자료들을 이용하여 그 영향도를 도식화하면 다음과 같다.

6.4 하천의 자정능력

수질오염방지는 하천의 오염기구, 다시 말해서 자정작용에 의해서 수역의 이용을 방해받지 않도록 오수의 유입을 규제하는 것이다. 이 자정작용은 크게 물리적인 것과 생물, 화학적인 것으로 나눌 수 있다.

물리적 자정작용은 하천중의 난류에 의해서 오수가 희석, 확산되는 현상이며 하천 자정작용의 중요한 인자이며 오수의 방류방법 등을 정하는 결정적인 계기가 된다.  감조 하천의 경우에는 난류에 의한 확산보다는 조류의 밀물과 썰물의 조석에 의한 혼합이 지배적이며 그 선에 따라 희석이 진행된다.  생물학적 자정작용은 유기물이 하천수중의 미생물이나 원생동물에 의해서 산화, 환원을 받아 무기화 되는 현상이다.  하수 중에 용존산소가 있는 경우에는 호기성균이 수중의 용존산소를 소비하여 무기화한다.  한편, 수중에 용존산소가 전혀 없으면 유기물중의 산소가 혐기성균에 위해서 소비되어 환원작용을 받는다.

하천의 자정능력은 하천으로 유입된 오염물질을 분해하고 분해 시 소모된 수중의 용존산소를 다시 보충하여 원상태로 회복시키는 능력이다.  따라서 하천의 자정능력을 정확하게 평가하는 것은 하천의 장래수질을 정확하게 예측하는 근원이 된다.

6.4.1 자정능력 평가기법

하천의 자정능력은 하천의 수리 현상, 즉 물의 유동량과 하천의 수질인자, 즉 각종 수질항목의 분석 및 생성에 관련된 복잡한 현상을 파악함으로써 엄밀한 해석이 가능하나, 국내의 여건에서는 수집 자료의 부정확성과 불충분성 등에 의해, 통상 BOD와 관련된 오염물질의 분석능력과 용존산소의 재폭기 능력에 대한 시스템 계수를 파악한다. 오염물질의 종류로는 유기물, 무기물(질소, 인 등), 중금속 등 여러 가지가 있으나 본 사업의 정화능력 평가대상 오염물질로는 일반적인 수질지표 항목인 유기물질, 즉 BOD로 확정하였다.  그 이유는 국내 여건상 현재 다른 오염물질은 하천에서의 변화 즉 분해능에 대한 기초자료가 극히 부족하여 이용 가능 한 자료를 얻을 수 없기 때문이다.

하천의 자정능력은 하천의 수문, 수리, 물리, 화학, 생물학적 특성에 좌우되므로 하천지점 및 구간별로 변화하게 된다.  따라서 전 구간에 대한 자정능력을 실측에 의해 평가한다는 것은 시간과 내용이 많이 소요되기 때문에 어려운 일이므로 일반적인 평가기법으로 전산모의실험에 의한 확정방법이다.

수질 모델링에 의한 하천의 자정능력 평가방법은 하천의 수질(BOD, DO, 수온 등)과 유량, 수심, 유속 등을 실측하고 하천의 주요구간에 대하여 과거 실측된 기존 BOD 분해계수(K1)와 재폭기 계수(K2)를 기본으로 하여, 컴퓨터에 의한 수질모형을 이용하여 수질을 계산한다.  확정수질이 실측수질과 유사하도록 K1 및  K2  값을 결정하는 것으로서 이러한 과정을 모형의 보정(Calibration) 및 검증(Verification)이라 한다. 수질모형의 보정 및 검증을 위하여 여러 기간 동안 8개 주요지점에 대하여 측정된 실측 결과를 사용한다.

신천의 수질모형 보정을 위하여 실측자료를 사용하여 보정하였고, 실측자료로서 보정된 시스템 계수 및 유입 오염부하량을 남한강 보고서 등 기존의 모사실험 예와 비교하여, 모형적용의 타당성을 검토하였다.

하천의 자정능력은 하천의 구간에 따라 다른데 이는 주로 하천의 유속, 수심, 수리 단면적 등의 수리학적 특성에 좌우된다.  따라서 본 사업에서는 이러한 수리학적 특성을 구간별로 규명하기 위하여 하천정비사업 보고서를 활용하여 주요 지천별 유량을 고찰하였다.

K2 계수는 QUAL2E 모형에서 이용 가능 한 8종류의 K2 계수 산정 공식 중 환경보전 장기 종합계획 시 우리나라 하천의 DO 농도 계산에 가장 적합한 공식으로 밝혀진 Langbein & Durum 공식  등을 사용하였지만 본 하천에서는 option5의 Thachsonton and Krenkel공식이 DO에 더욱 적합하다.

모의실험 대상구간은 신천의 경우 상수 채수지점을 기준으로 하여 승전교에서 상류로 양주군 도하리까지 약 22 Km이며, 모의실험에 필요한 최소구간 단위인 소 구획(Computational element)의 거리는 오염원 위치와 지점별 수질을 고찰하여 500m로 하여 대상구간 내 44개의 소 구간으로 구분하였다.

모형의 실험 대상 구간 상 구간별 각종 특성을 달리하는 구획(reach)의 구분은 수리모델링 결과 수리학적 특성이 다른 것으로 나타난 것에 의거하여 신천의 경우 2개의 구분으로 설정하였고 다음 <계획구간그림>에 신천 수질 모의실험에 사용된 소 구간 및 구획을 나타내었다.

<보정 그림>은 신천의 수질 확정에 대한 수질모형 보정 및 검정결과로서 BOD 및 DO 농도에 대하여 실측수질과 모델링 결과 나타난 계산수질을 비교한 것으로서 전반적으로 상호 근사한 수질을 보여주는 것으로 보아 보정 및 검정이 양호한 것으로 판단된다.

Ch.3 QUAL2K

1. QUAL2E와 QUAL2K 모형의 차이점을 설명하라.

Explain the difference between QUAL2E and QUAL2K Model.

QUAL2K (Q2K) QUAL2E (Q2E, Brown and Barnwell 1987)의 최근 버전을 표시하기 위한 것이다.  Q2K는 다음과 같은 측면에서 Q2E 유사하다 :

• 일차원 모형으로서 수로는 수직과 횡방향으로 잘 혼합되어 있다고 가정한다.

• 본 시스템은 분류되는 지류를 가지는 본류 하천으로 구성된다.

• 정류 수리학 : 부등류 정류가 모의된다.

• 수온에 대한 모델링은 일변화 시간적 기상조건에 따라 수행된다.

• 모든 주요 수질 변수는 일변화 시간 변동적으로 계산된다.

• 열 및 물질의 입력 : 점 및 비점오염 부하 및 소멸이 모의된다.

QUAL2K는 다음과 같은 새로운 요소를 포함한다.

• 소프트웨어 환경 및 인터페이스 : Q2K는 Microsoft Windows 환경에서 구현된다. 수치 계산은 Fortran 90을 사용하여 프로그램밍된다. 그래픽 사용자 인터페이스(GUI)로 엑셀을 사용한다. : 모든 인터페이스 작업은 마이크로 소프트 오피스 매크로 언어인 Visual Basic의 응용 프로그램(VBA)로 프로그래밍된다.

• 격자망 분할 : Q2E는 일정한 격자망을 사용하나, Q2K는 지류별로 변동적 격자망을 사용하며, 한 격자망에 여러 부하와 소멸원을 입력할 수 있다.

• 탄소성 BOD 분류 : Q2K는 유기 탄소를 대표하는 탄소의 CBOD에 다음의 두 가지 형태를 사용한다. 천천히 산화하는 느린 CBOD 및 급속하게 산화하는 빠른 CBOD

• 무산소 상태 : Q2K는 무산소 상태일 경우 제로로 산화 반응을 감소시켜 산소 결핍을 수용할 수 있다. 또한, 낮은 산소 농도에서 나타나는 탈질화를 일차 반응으로 모델링한다.

• 침전물과 물의 상호 작용 : 용존 산소와 영양염류의 침전물과 상부 수체간의 물질 이동을 지정하는 것이 아니라 모델링할 수 있다. 즉, 퇴적물 산소 요구량 (SOD) 및 영양염류의 이동 속도는 침전성 유기물질, 퇴적물내의 반응, 상부수체의 용존 물질의 농도의 함수로 모의된다.

• 하상 조류 : 명시적으로 부착 조류를 모의한다. 이러한 조류는 양론적 변수를 가진다.

• 빛의 소멸 : 빛의 소멸은 조류, 조각물, 무기 고형물의 함수로 계산된다.

• pH : 알칼리도와 총 무기 탄소 모두 모의된다. 강의 pH는 이러한 두 가지 수량에 따라 계산된다.

• 병원균 : 일반 병원균이 모의된다. 병원균 제거는 온도, 빛, 침전의 함수로 결정된다.

• 지류내 반응 상수의 지정 : Q2K는 지류별로 여러 반응 상수를 지정할 수 있다.

• 웨어와 폭포 : 웨어와 폭포의 수리학뿐만 아니라 가스 전달에 대한 효과를 명시할 수 있다.

2. QUAL2K에서 하천의 형상을 격자망으로 서술하기 위하여 사용하는 용어인 Reach,

Element, Segment, Headwater 등에 대헤서 설명하라.

Explain the nomenclature such as Reach, Element, Segment, Headwater

used to describe the way in which Q2K organizes river topology.

Q2K가 하천의 형상을 서술하기 위하여 사용하는 용어는 다음과 같다.

* 구간 : 일정한 수리 특성과 하천의 길이를 의미한다.

* 요소 : 구간을 동일한 길이로 구성하는 계산의 기본 크기이다.

* 격자망 : 시스템의 분기를 나타내는 구간들의 모음이다. 이들은 본류와 각 지류로 구성되어 있다.

* 물머리 : 모형 격자망의 상류 경계.

3. QUAL2K에서는 다음과 같은 방법에 의하여 하천의 수리 특성을 서술한다.

Weir, Rating Curve, Maning Equation, Water Fall.

각 방법에 대하여 설명하라．

QUAL2K evaluate the hydraulic characteristics of the stream by suing the next four method ; Weir, Rating Curve, Maning Equation, Water Fall. Explain the above four method.

(1) 웨어

그림 11은 웨어를 Q2K로 표시하는 방법을 나타낸다. 웨어는 단일 요소로 구성되는 구간의 끝에만 위치할 수 있다. 그림 11의 기호는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: ETA _{i}] = 웨어의 상류 요소의 깊이,

[eqn: ETA _{i+1}] = 웨어의 요소 하류의 깊이,

[eqn: eleve2 _{ i}] = 상류 요소의 말단 끝 부분의 해발 고도,

[eqn: elev1 _{i+1}] = 하류 요소의 상단 끝 부분의 해발 고도,

[eqn: ETA _{w }] = [eqn: elev2 _{ i}]  위 웨어의 높이,

[eqn: ETA _{ d}] = 요소 i와 요소 i+1 표면의 해발 고도 사이의 낙하,

[eqn: ETA _{ h}] = 웨어 위의 상단 ,

[eqn: B_{ W}] = 웨어의 폭이다.

웨어의 폭과 요소 [eqn: B_{ i}]의 폭은 다를 수가 있다.

(a) 측면                   (b) 횡단면

그림 11. 두 개의 구간 사이 경계에 위치한 에서 날카로운 웨어

[eqn: ETA _{h} / ETA _{ w}] < 0.4인 칼날형 둑인 경우, 유량은 다음과 같이 수위에 관계가 있다(Finnemore과 Franzini 2002).

[eqn: Q _{i} =1.83B _{W} H _{h} ^{3/2}]                                                   (4)

여기서,  [eqn: Q _{i}]는 단위 [eqn: m^{ 3}/s]로 웨어의 상류 요소에서의 유출유량이고, [eqn: B_{ w}] 와 [eqn: H_{ h}]는 m 단위이다. 다음과 같이 수위를 구할 수 있다.

[eqn: H _{h} = LEFT ( {Q _{i}} over {1.83B _{W}} RIGHT ) ^{ 2/3}]                                                   (5)

이 결과는 요소 i의 깊이를 계산하는 데 사용할 수 있다,

[eqn: H _{i} =H _{W} +H _{h}]                                                   (6)

둑 상부의 강하 수심은 다음과 같다.

[eqn: H _{d} =elev2 _{i} +H _{i} -elev1 _{i+1} -H _{i+1}]                                       (7)

위의 낙하 수심을 사용하여 둑에 있어서 산소 및 이산화탄소의 가스 이동을 계산하는 데 사용된다.

The cross-sectional area, velocity, surface area and volume of element i can then be computed as

요소의 i의 단면적, 유속, 표면적 및 부피는 다음과 같이 계산 될 수 있다.

[eqn: A _{c,i} =B _{i} H _{i}]                                                             (8)

[eqn: U _{i} = {Q _{i}} over {A _{c,i}}]                                                              (9)

[eqn: A _{s,i} =B _{i} TRIANGLE x _{i}]

[eqn: V _{i} =B _{i} H _{i} TRIANGLE x _{i}]

where Bi = the width of element i, Δxi = the length of element i. Note that for reaches with weirs, the reach width must be entered. This value is entered in the column AA (labeled "Bottom Width") of the Reach Worksheet.

여기서, [eqn: B_{ i }] = 요소 i의 폭, [eqn: TRIANGLE][eqn: x_{ i}] = 요소 i의 길이이다.

둑이 있는 구간에서는 구간 폭이 입력되어야 하는 것에 주의한다. 이 값은 구간 워크 시트의 열 AA ("바닥 폭"으로 명기됨)에 입력된다.

(2) 평가 곡선

구간의 각 요소에 지수방정식을 (때로는 레오폴드 매덕스의 관계라고도 함) 사용하여 평균 유속과 수심을 유량에 관계시킬 수 있다.

[eqn: U=aQ ^{b}]                                                          (10)

[eqn: H= alpha Q ^{beta }]                                                         (11)

where a, b, α and β are empirical coefficients that are determined from velocity-discharge and stage-discharge rating curves, respectively. The values of velocity and depth can then be employed to determine the cross-sectional area and width by

여기서, a, b, α와 β는 각각 유속-유량, 수위-유량의 평가곡선으로부터 결정되는 경험적 계수이다. 유속과 수심을 사용하여 단면적과 폭을 결정한다.

[eqn: A _{c} = {Q} over {U}]                                                          (12)

[eqn: B= {A _{c}} over {H}]                                                            (13)

요소의 표면적 및 부피는 다음과 같이 계산될 수 있다.

[eqn: A _{s} =B TRIANGLE x]

[eqn: V=BH TRIANGLE x]

지수 β와 b가 표 1에 제시된 값을 사용한다. β와 b가 1 이하여야하는 것에 유의하라. 이 조건이 충족되지 않을 경우 폭은 유량이 증가함에 따라 감소한다. 그 합계가 1과 같으면 수로는 사각형이다.

표 1 유량으로부터 유속과 수심을 결정하기 위해서 사용되는 평가 곡선의 지수의

전형적인 값 (Barwell 등, 1989)

방정식	지수	표준 값	범위
[eqn: U=aQ ^{b}]	b	0.43	0.4 ~ 0.6
[eqn: H=aQ ^{beta }]	[eqn: beta]	0.45	0.3 ~ 0.5

현장에서 측정된 유속 및 수심 값을 사용하기 위해서는 흐름과 함께 변화하지 않는 수심과 유속의 유속의 상수 값을 지정할 수 있다. 이것은 지수 β와 b를 0으로 설정하고 원하는 유속을 a로 지정하고 수심을 α로  설정하여 수행할 수 있다.

(3) Manning의 식

구간의 각 요소는 사다리꼴 채널로 표현할 수 있다(그림 12). 정류 조건에서, Manning의 식을 사용하여 유량과 수심의 관계를 표현할 수 있다.

[eqn: Q= 1 over n R sup 2/3 S sup 1/2 A = {S _{0} ^{1/2}} over {n} ` {A _{c} ^{5/3}} over {P ^{2/3}}]                                          (14)

여기서 Q = 유량 [m3/s], R = hydraulic radius (동수반경), S0 = 바닥 기울기 [m/m], n = 매닝의 조도 계수, AC = 단면적 [m2], 그리고 P = 윤변 [m].

그림 12. 사다리꼴 수로

사다리꼴 수로의 단면적은 다음과 같이 계산된다.

[eqn: A _{c} =[B _{0} +0.5(s _{s1} +s _{s2} )H]H]                                             (15)

여기서 B0 = 바닥 폭 [m], SS1과 SS2 = 사다리꼴 단면 두면의 경사도, H = 요소의 수심[m]이다.

윤변은 다음과 같이 계산된다.

[eqn: P=B _{0} +H sqrt {s _{s1} ^{2} +1} +H sqrt {s _{s2} ^{2} +1}]                                        (16)

(15)(16) 식을 대입한 후, (14)식의 수심은 반복적으로 구할 수 있다 (Chapra와 Canale, 2006).

[eqn: H _{k} = {(Qn) ^{3/5} (B _{0} +H _{k-1} sqrt {s _{s1} ^{2} +1} +H _{k-1} sqrt {s _{s2} ^{2} +1} ) ^{2/5}} over {S ^{3/10} [B _{0} +0.5(s _{s1} +s _{s2} )H _{k-1} ]}]                           (17)

where k = 1, 2, …, n, where n = the number of iterations. An initial guess of H0 = 0 is employed. The method is terminated when the estimated error falls below a specified value of 0.001%. The estimated error is calculated as

여기서 k = 1, 2, ..., N, n은 반복 횟수이다. H0=0 초기 추정치로 사용된다. 추정 오류가 0.001 %의 지정된 값 아래로 떨어질 때 반복은 종료된다. 추정 오류는 다음과 같이 계산된다

[eqn: varepsilon _{a} =□ {H _{k+1} -H _{k}} over {H _{k+1}} □ TIMES 100%]                                           (18)

단면적은 (15) 식으로 결정된다. 연속방정식으로부터 유속을 결정할 수 있다.

[eqn: U= {Q} over {A _{c}}]                                                        (19)

평균 요소 폭, B [m]은 다음과 같이 계산된다.

[eqn: B= {A _{c}} over {H}]                                                        (20)

상단 폭 B1 [m]은 다음과 같이 계산된다.

[eqn: B _{1} =B _{0} +(s _{s1} +s _{s2} )H]

The surface area and volume of the element can then be computed as

요소의 표면적과 부피는 다음과 같이 계산 될 수 있다.

[eqn: A _{s} =B _{1} TRIANGLE x,``````V=BH TRIANGLE x]

Critical conditions of depth for evaluating water quality are generally much less than bankfull depth, and the relative roughness may be much higher

매닝 계수에 대한 권장 값이 표 2에 나열되어 있다. 매닝의 n은 일반적 흐름과 깊이 (Gordon 등 1992.)에 따라 다르다. 유량이 낮을 때 수심이 감소하면, 상대 조도는 일반적으로 증가한다. 흐름이 제방에 차있을 때, 매닝의 조도계수의 전형적인 값은 원할한 수로에서는 0.015, 거친 자연 수로에서는 0.15의 범위에 있다 (Rosgen, 1996). 수질을 평가하기 위한 수심의 중요한 조건은 일반적으로 제방에 만수된 깊이보다 훨씬 낮으므로, 상대 조도가 훨씬 높을 수 있다.

표 2 다양한 개수로 표면에 대한 매닝의 조도 계수 (1988)

물질	n
인공 수로
콘크리트	0.012
바닥이 자갈인 조건에 있어서 측면 조건 :
콘크리트	0.020
모르타르 돌	0.023
사석	0.033
천연 하천 수로
맑은, 직선	0.025-0.04
맑은, 사행 및 일부잡초	0.03-0.05
잡초와 연못, 사행	0.05
바위가 있는 산의 하천	0.04-0.10
무성한 식생, 나무	0.05-0.20

(4) 폭포 (물넘이 구조물)

둑에서 수위강하가 계산되었다. 이 값은 확장 재폭기를 계산하기 위해 필요하다. 둑이외에도, 이러한 강하는 다음 그림 13과 같이 폭포에서 발생할 수 있다. 폭포는 구간의 하단에만 위치할 수 있다.

그림 13 두 구간 사이의 경계에서 발생하는 폭포

QUAL2K computes such drops for cases where the elevation above sea level drops abruptly at the boundary between two reaches. Equation (7) is used to compute the drop. It should be noted that the drop is only calculated when the elevation above sea level at the downstream end of a reach is greater than at the beginning of the next downstream reach; that is, elev2i > elev1i+1.

QUAL2K는 두 개의 구간 사이의 경계에서 해발 고도가 갑자기 하강하는 경우에 이러한 수위 강하를 계산한다. 다음 식(7)은 수위 강하를 계산하는 데 사용된다. 하류 구간의 고도가 상류 구간의 고도보다 작은 경우에만 계산된다. 즉, elev2i > elev1i+1이다.

4. 본 모형의 수질 모델링 항목들간의 변환 및 상호 관계는 다음의 그림으로 나타낼 수 있다. 이러한 변환 및 반응들을 구체적으로 설명하고, 반응속도식 및 반응속도상수를 설명하라.

The transformation and biochemical reactions between the water quality variables of QUAL2E can be expressed as shown in the next figure. Explain in detail about the transformation and reaction mechanism, and reaction kinetics and reaction constants.

1) 유기물질의 화학양론비 (Stoichiometry)

Chapra(1997)는 다음과 같은 유기물의 화학양론비를 제안하였다.

100gD : 40gC : 7200mgN : 1000mgA

[eqn: r _{xy} = {gX} over {gY}]

여기서, D, C, N, P, A는 각각 건조유기고형물(detritus dry weight), 탄소(carbon), 질소(nitrogen), 인(phosphorus), 조류(chlorophyll a)의 농도이다.

gX = X 의 물질의 무게 , gY = Y 의 물질의 무게

1mgA의 부유조류의 사멸로 인해 발생하는 건조 고형유기물에 대한 화학양론비는 다음과 같다.

[eqn: r _{da} = {100gD} over {1000mgA} =0.1 {gD} over {mgA}]

2) BOD-DO, 유기고형물의 모델링

- 유기고형물([eqn: m _{0}])

[eqn: S _{mo} =r _{da} k _{dp} (T)a _{p} +k _{db} (T)a _{b} -k _{dt} (T)m _{o} - {v _{dt}} over {H} m _{o}]

축적 조류사멸   부착조류사멸 유기물용해 유기물침전

여기서, [eqn: k _{dt}](T) = 온도에 따른 유기고형물 용해속도[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: v _{dt}]유기고형물 침전속도[m/d]

3) BOD

- Slow CBOD([eqn: C _{s}]) -

[eqn: S _{cs} =r _{od} k _{dt} (T)m _{o} -k _{hc} (T)c _{s} -F _{oxcf} k _{dcs} (T)c _{s}]

축적 유기물용해    가수분해      산화

여기서, [eqn: k _{hc} (T)] = 온도체 따른 sCBOD 가수 분해율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: k _{dcs} (T)] = 온도에 따른 sCBOD 가수 산화율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: F_oxcf] = 저산소로 인한 산화율 보정 계수[무차원]

- Fast CBOD([eqn: C _{f}]) -

[eqn: S _{cf} =k _{hc} (T)c _{s} `````-`````F _{oxcf} k _{dc} (T)c _{f} `````-````r _{ondn} (1-F _{oxdn} )k _{dn} (T)n _{n}]

축적 sCBOD가수분해  fCBOD산화           탈질화

여기서, [eqn: k _{dc}] = 온도에 따른 fCBOD 산화율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: k _{oxdn}] =전산소로 인한 탈질율 보정 계수[무차원]

4) DO(0)

[eqn: S _{o} =r _{oa}]PhytoPhoto + [eqn: r _{od}]BotAlgPhoto - [eqn: r _{oc}]FastCOxid - [eqn: r _{oc}]SlowCOxid - [eqn: r _{on}]

NH4Nitr - [eqn: r _{oa}]PhytoResp - [eqn: r _{od}]BotAlgResp + OxReaer

OxReaer [eqn: =k _{a} (T) LEFT ( o _{s} (T,elev)-o RIGHT )]

[eqn: o _{s} (T,elev)=e ^{lno _{s} (T,0)} (1-0.0001148elev)]

[eqn: lno _{s} (T,0)=-139.34411+ {1.575701 TIMES 10 ^{5}} over {T _{a}} - {6.642308 TIMES 10 ^{7}} over {T _{a} ^{2}}]

[eqn: + {1.243800 TIMES 10 ^{10}} over {T _{a} ^{3}} - {8.621949 TIMES 10 ^{11}} over {T _{a} ^{4}}]

여기서, [eqn: k _{a} (T)] = 온도에 따른 제포기 계수[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: o _{s} (T,elev)] = T 온도와 elev해발고도에서 산소포화농도[mg[eqn: O _{2}]/L]

[eqn: lno _{s} (T,0)] = 순수한 물 1atm에서 용존 산소 포화농도[mg[eqn: O _{2}]/L]

[eqn: T _{a}] = 절도 온도[K]

재포기 공식은 0'Conner-Dobbins, Owens-Gibbs, Churchill 공식 등을 사용하였다. QUAL2K 모형에서는 H < 0.61m 이면 Owens-Gibbs공식을 사용하고, H > 0.61m , H > 3.45[eqn: U ^{2.5}] 이면 0'Conner-Dobbins 공식을 사용하고 두 가지 경우 다 해당되지 않으면 Churchill 공식을 사용하도록 하는 내부 선택사항이 있다.

5) 영양물질과 조류의 모의

- 부유조류(phytoplankton) ([eqn: a _{p}])

[eqn: S _{ap} = mu _{p} a _{p} -k _{rp} (T)a _{p} -k _{dp} (T)a _{p} - {v _{a}} over {H} a _{p}]

축적  광합성  호흡     사멸     침전

여기서, [eqn: mu _{p}] = 부유조류 광합성율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: k_rp (T)] = 온도에 따른 부유조류 호흡율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: k_dp (T)] = 온도에 따른 부유조류 사멸율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: v_a] = 부유조류 침전속도[m/d]

- 부착조류(bottom algae)([eqn: a _{b}])

[eqn: S _{ab} =C _{gb} (T) phi _{Nb} phi _{Lb} -k _{rb} (T)a _{b} -k _{db} (T)a _{b}]

축적     광합성       호흡      사멸

여기서, [eqn: C _{gb} (T)] = 온도에 따른 최대 광합성율[gD/([eqn: m ^{2}]d)]

[eqn: phi _{Nb}] = 부착조류 및 영양 감쇠 인자[0~1 무차원]

[eqn: phi _{Lb}] = 부착조류 및 영양 감쇠 계수[0~1 무차원]

[eqn: k_rb] = 온도에 따른 부착조류 호흡율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: k_db] = 온도에 따른 부착조류 사멸율[[eqn: d ^{-1}]]

- 용존 유기질소(DON)([eqn: n_a])

[eqn: S _{no} =r _{nd} k _{dt} (T)m _{o} -k _{nn} (T)n _{o}]

축적  유기물용해     가수분해

여기서, [eqn: k_hn]= 온도에 따른 유기질소 가수분해율[[eqn: d ^{-1}]]

- 암모니아성 질소([eqn: n _{a}])

[eqn: S _{na} =k _{hn} (T)n _{o} +r _{na} k _{rp} (T)a _{p} +r _{nd} k _{rb} (T)a _{b} -F _{oxna} k _{n} (T)n _{a}]

축적  DON가수분해  부유조류호흡  부착조류호흡  질산화

[eqn: -r _{na} P _{ap} mu _{p} a _{p} -r _{nd} P _{ab} C _{gb} (T) phi _{Nb} phi _{Lb}]

부유조류광합성  부착조류광합성

여기서, [eqn: k _{n}] = 온도에 따른 질산화율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: F_oxna] = 저산소로 인한 산화율 보정계수 [무차원]

[eqn: p_ap , p_ab] = 부유조류와 부착조류의 암모니아 선호도

[eqn: P _{ap} = {n _{a} n _{n}} over {(k _{hnxp} +n _{a} )(k _{hnxp} +n _{n} )} + {n _{a} k _{hnxp}} over {(n _{a} +n _{n} )(k _{hnxp} +n _{n} )}]

[eqn: P _{ap} = {n _{a} n _{n}} over {(k _{hnxb} +n _{a} )(k _{hnxb} +n _{n} )} + {n _{a} k _{hnxb}} over {(n _{a} +n _{n} )(k _{hnxb} +n _{n} )}]

[eqn: k _{hnxp} ,k _{hnxb}] = 부유조류와 부착조류의 암모니아 선호계수[mg/N[eqn: m ^{3}]]

- NH3(비이온화된 Ammonia)

[eqn: n _{au} =F _{u} n _{a}]

여기서, [eqn: n _{au}] = [eqn: NH _{3}] 농도[ugN/L]

[eqn: F_U] = 총 암모니아의 [eqn: NH _{3}] 비율

- 질산성 질소([eqn: n _{n}])

[eqn: S _{"ni"} =F _{oxna} k _{n} (T)n _{a} -(1-F _{oxdn} )k _{dn} (T)n _{n} -r _{na} (1-P _{ap} )- mu _{p} a _{p}]

축적   질산화          탈질화              부유조류광합성

[eqn: -r _{nd} (1-P _{ab} )C _{gb} (T) phi _{Nb} phi _{Lb}]

부착조류 광합성

여기서, [eqn: k _{dn} (T)] = 온도에 따른 질산성질성 탈질화율[[eqn: d ^{-1}]]

[eqn: F _{oxdn}] = 저산소로 인한 탈질화율 보정계수[무차원]

- 용존 유기인(DOP)([eqn: P _{o}])

[eqn: S _{po} =r _{pd} k _{dt} (T)m _{o} -k _{hp} (T)P _{o}]

축적 유기물용존    가수분해

여기서, [eqn: k _{hp} (T)] = 온도에 따른 유기인 가수분해율[[eqn: d ^{-1}]]

- 무기 인([eqn: P _{i}])

[eqn: S _{pi } =k _{hp} (T)P _{o} ````+```r _{pa} k _{rp} (T)a _{p} ````+``r _{pd} k _{rb} (T)a _{b} ````-```r _{pa} mu _{p} a _{p}][eqn: -r _{pd} C _{gb} (T) phi _{Nb} phi _{Lb}]

축적 DOP가수붆해 부유조류호흡 부착조류호흡 부유조류광합성 부착조류광합성

- 무기성 부유물질([eqn: m _{i}])

[eqn: S _{mi} = {v _{i}} over {H} m _{i}]

축적  침전

여기서, [eqn: v _{i}] = 무기성 부유물질 침전속도[m/d]

그 밖에 모델링이 가능한 물질로는 보존성 물질, 병원균, pH, 총 무기 탄소, 알카리도 등이 있다.

6) 퇴적층산소요구량 (SOD)

SOD 흐름은 Di Toro(1991, 1993, 2001)2s)t6)27)의 모형을 기본으로 하였다. 그림 2-4는 입자성유기물(Particulate Organic Matters)이 수체에서 퇴적층으로 침전되어 입자성 유기탄소(POC), 입자성 유기질소(PON), 입자성 유기인(POP) 으로 나누어 반응하는 것을 그림으로 나타낸 것이다 퇴적층은 않은 호기성층(1mm)과 두꺼운 혐기성층(loom)으로 나누어 모의하였다.

SOD의 영양물질 흐름도

5. 본 모형에서는 다음과 같은 열평형방정식을 사용하여 하천에서의 온도 변화를 계산

할 수 있다. 다음식의 각 항을 설명하라.

This model can simulate the temperature variation of the stream by using

the governing equation such as follows. Explain the each term of this heat

balance equation.

[eqn: {dT _{i}} over {dt} = {Q _{i-1}} over {V _{i}} T _{i-1} `- {Q _{i}} over {V _{i}} T _{i} `- {Q _{out,i}} over {V _{i}} T _{i} `+` {E＇ _{i-1}} over {V _{i}} (T _{i-1} -T _{i} )+ {E＇ _{i}} over {V _{i}} (T _{i+1} -T _{i} )# + {W _{h,i}} over {rho _{w} C _{pw} V _{i}} ( {m ^{3}} over {10 ^{6} `cm ^{3}} )+ {J _{a,i}} over {rho _{w} C _{pw} H _{i}} ( {m} over {100`cm} )+ {J _{s,i}} over {rho _{w} C _{pw} H _{i}} ( {m} over {100`cm} )]

그림 1과 같이, 열평형은 인접 요소, 부하, 회수, 대기, 그리고 퇴적물의 열의 이동을 고려한다. 열평형은 요소 [eqn: i]에 대해 다음과 같이 정리된다.

[eqn: {dT _{i}} over {dt} = {Q _{i-1}} over {V _{i}} T _{i-1} `- {Q _{i}} over {V _{i}} T _{i} `- {Q _{out,i}} over {V _{i}} T _{i} `+` {E＇ _{i-1}} over {V _{i}} (T _{i-1} -T _{i} )+ {E＇ _{i}} over {V _{i}} (T _{i+1} -T _{i} )# + {W _{h,i}} over {rho _{w} C _{pw} V _{i}} ( {m ^{3}} over {10 ^{6} `cm ^{3}} )+ {J _{a,i}} over {rho _{w} C _{pw} H _{i}} ( {m} over {100`cm} )+ {J _{s,i}} over {rho _{w} C _{pw} H _{i}} ( {m} over {100`cm} )]         ( 1 )

여기서, [eqn: T _{i}] =요소 [eqn: i]의 온도 [℃], t = 시간 [d], [eqn: E`` prime _{i}] = 요소 [eqn: i] 와 [eqn: i+1] 사이의 대량 교환 계수 [[eqn: m ^{3} /d]] [eqn: W _{h,i}] = 점 및 비점원에서 요소 [eqn: i]로의 순 열 부하 [[eqn: cal/d]], [eqn: rho _{w}]= 물의 밀도 [[eqn: g/cm ^{3}]], [eqn: C _{pw}] =물의 비열 [[eqn: cal/(g` CENTIGRADE )]], [eqn: J _{a,i}] = 공기-물의 열 플럭스 [[eqn: cal/(cm ^{2} `d)]], [eqn: J _{s,i}] = 침전물 - 물 열 플럭스 = [[eqn: cal/(cm ^{2} `d)]].

그림 1. 요소내 열 평형

전체 분산 계수는 다음과 같이 계산된다.

[eqn: E`` prime _{i} `=` {E _{i} A _{c,i}} over {( TRIANGLE x _{i} `+` TRIANGLE x _{i+1} )/2}]                                       ( 2 )

두 가지 유형의 경계 조건이 하천의 하류 말단에 사용되는 것에 주의 한다 :

(1) 제로 분산 조건 (자연 경계 조건)과

(2) 규정된 하류 경계 조건 (Dirichlet 경계 조건).

이 옵션은 하류 워크시트(Downstream Worksheet)에서 선택된다.

근원항에서 순수 열 부하는 다음의 식을 이용해 계산한다.

[eqn: W _{h,i} `=` rho C _{p} [ sum _{j=1} ^{p`s`i} Q _{ps,i,j} T _{p`s`i,j} `+` sum _{j=1} ^{npsi} Q _{nps,i,j} T _{npsi,j} ]]                   ( 3 )

여기서, [eqn: T _{ps,i,j}] 는 요소 [eqn: i]의 [eqn: j]번째 점오염원의 온도[℃], [eqn: T _{nps,i,j}]는 요소 [eqn: i]의 [eqn: j]번째 비점오염원의 온도[℃]이다.