수환경관리, 시험 3, Midterm Exam., May7th 2014

Water Environment Management, 3rd Exam, 20140507

강원대학교 공과대학 환경공학과 교수 김준현

Kangwon National University, School of Engineering

Environmental Engineering Dept., Professor Joon Hyun Kim

Part I. Environmental Modeling

Ch.6 하천내 일반적인 오염물질의 모델링

Ch.6 Modeling of Conventional Pollutants in Streams

1. 하천에서의 오염현상해석에 대한 다음의 질문에 답하여라.

Answer the next problems about the analysis of the pollution problems in streams.

1) 하천에서의 오염물질의 물질이동식을 플러그유동시스템을 가정하여 유도하라.

Derive the mass transport equation of pollutants in streams for the case of plug flow system.

2) 위의 문제에 대하여 정상상태의 경우의 해를 구하여라.

Derive the solution of the above mass transport equation in the case of steady state.

3) BOD 분해능 계수를 실험실과 현장의 자료를 해석하여 산정하는 방법을 설명하라.

Explain the estimation method of BOD decay coefficient using the experimental and field data.

일반 오염물질은, 흐름이 오염원으로부터 즉시 오염물질을 제거하기 때문에, 강과 하천에 배출된다. 그래서 흐르는 물에서 부영양화는, 호수와 비교할 때 그다지 큰 문제가 아니다. 다음 그림의 하천의 일부 구간의 검사체적에 대하여 물질평형식을 적용한다.

만약 흐름이 충분히 빠르다면, 다음과 같은 플러그 유동 시스템으로 하천을 모델링할 수 있다.

[eqn: {d(VC)} over {dt} =QC-Q(C+ DELTA C)±rV]

여기서, V는 검사 체적의 부피이며, [eqn: C]는 농도, [eqn: Q]는 유량, [eqn: r]는 반응속도이다. 식(2)는 정류 유동([eqn: dQ/dt = 0]) 조건에 대하여 기술된 것이다.

일정한 속도와 부피 증가량을 요구하는, 일정한 횡단면적([eqn: dA/dx = 0])을 가정하자. 부피 증가량이 일정함으로, 검사 체적([eqn: V = A DELTA x])으로 나누면 다음과 같다.

[eqn: dC over dt = QC over {A DELTA x} - QC over {A DELTA x} - {Q DELTA C} over {A DELTA x} +-r]

만약 [eqn: DELTA x -> 0]인 극한을 취하면, 공간과 시간에 대한 편미분 방정식을 얻을 수 있다.

[eqn: partialC over partialt = - Q over A partialC over partialx +- r]

[eqn: Q/A]는 평균 하천 유속([eqn: bar u])과 같기 때문에, 우리는 식(5)를 반응을 포함하여, 일반적인 플러그 유동식으로 쓸 수 있다.

[eqn: partialC over partialt = -baru partialC over partialx +- kC])

정상 상태에서, 시간에 대한 농도변화는 0이며, [eqn: partialC /partialt = 0] 이다.

[eqn: dC over dx = +- r/ baru]

또는 적분식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: int dC = +- 1 over baru int r dx]

1차 소멸 반응,[eqn: dC over dt = -kC = r]을 가정한다.

[eqn: dC over dx = - k over baru C]

변수분리법으로 상미분 방정식을 푼다

[eqn: int _{C _{0}} ^{C} {} {dC} over {C} =- {k} over {{bar{u}}} int _{0} ^{x} {} dx]  [eqn: lnC~ LEFT | {C} atop {C _{0}} = {-kx} over {{bar{u}}} RIGHT| _{0} ^{x} RIGHT .]  [eqn: ln {C} over {C _{0}} = {-kx} over {{bar{u}}}]

[eqn: C=C _{0} exp(-kx/ {bar{u}} )]

1), 2), 3) 에 대한 답안이 위에 전부 설명되어 있음

2. 다음과 같은 경우에 대하여 선형회귀분석 방법을 적용하여 BOD 분해능 계수를 평가하라.

Evaluate the BOD decay coefficient for the next data by using the linear regression method.

[eqn: x,~km]	0.0 5.0 10.0 20.0 30.0 50.0 100.0 200.0
[eqn: C,~mgL ^{-1}]	10.0 9.4 9.1 8.4 7.6 6.4 4.2 1.9

1) 물질이동식 및 해

하천에서의 오염현상은 총체적인 개념으로 BOD 농도를 사용하여 해석하며, 이러한 BOD 농도에 대한 물질이동식으로 해석한다. 물질이동식은 유속에 의한 이류유송과 생화학적 분해 반응을 고려하면 다음의 편미분방정식으로 표현된다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} =-u {Partial C} over {Partial x} -kC]

여기서, 평균 하천 유속([eqn: {bar{u}}])은 유량을 단면적으로 나눈 값([eqn: Q/A])이다.

위의 식을 정상 상태의 상미분 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

[eqn: u {dC} over {dx} =`-kC]

변수분리법으로 위의 상미분 방정식을 다음과 같이 풀 수 있다.

[eqn: int _{C _{0}} ^{C} {} {dC} over {C} =- {k} over {u} int _{0} ^{x} {} dx]

위의 적분은 [eqn: x = 0]일 때의 [eqn: C_0]에서부터 하류 거리 x일 때 농도 C까지 설정되었다. 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

[eqn: ln {C} over {C _{0}} = {-kx} over {u}]                                          (1)

양변에 지수를 취하면, 다음과 같다.

[eqn: C=C _{0} exp(-kx/ {u} )]

여기서, [eqn: C_0]는 원점 [eqn: x = 0]에서의 초기 농도이다.

2) 반응계수 추정을 위한 선형회귀분석방법의 적용

(1) 식을 농도와 이동 거리에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다.

[eqn: ln {C} over {C _{0}} =- {k} over {u} x`]

실험오차나 기타 오차에 의하여 측정된 값이 그래프에 정확히 일치하지 않는 경우에는 선형회귀분석 기법을 이용하여 그래프에 가장 일치하는 경우의 기울기를 구하면 된다. Excel의 메뉴에 있는 Regression(상관분석)을 사용하여 이러한 분석을 수행한 후 그래프를 도시하여 실측값과 계산치와의 비교 분석을 수행한다.

[eqn: x,km]	[eqn: C/C_0]	[eqn: ln C/C_0]	[eqn: x/ {u,} day]
0 5 10 20 30 50 100 200	1.0 0.94 0.91 0.84 0.76 0.64 0.42 0.19	0.0 -0.062 -0.094 -0.174 -0.274 -0.446 -0.868 -1.661	0 0.145 0.289 0.579 0.868 1.447 2.894 5.787

하천에서 BOD 분해에 대한 속도 상수를 구하기 위해 ln([eqn: C/C_0]) 대 [eqn: x/baru] (이동 시간)의 그래프를 다음과 같이 그린다.

(a) 하류 거리에 대한 BOD 자료(mg/L) ; [eqn: x] km (b) 산소제거 속도 상수에 대한, BOD 대[eqn: x/u]의 반대수 그래프 (c) 거리별 BOD에 대한 모델 결과와 현장 자료.

3. 다음의 경우에 대해서 물질수지식을 전개하고, 시간의 함수로서 농도에 대하여 미분방정식을 풀어라(적분하라).

Derive the mass transport equation for the problems as follows, and solve the differential equation for the concentration as the time function.

1) 정상 상태, 거리에 따라 유동과 횡단면적이 증가, 1차 소멸 반응인 경우.

For the case of steady state, increasing flow and cross sectional area with distance, and 1st order decay reaction.

1). 아래의 정상 상태 조건식 을 이용하여라.

[eqn: 0=- {1} over {A(x)} {d[Q(x)C(x)]} over {dx} -kC]

[eqn: 0=- {1} over {A _{0} e ^{ax}} {d[Q _{0} e ^{qx} C(x)]} over {dx} -kC]

[eqn: 0=- {Q _{0}} over {A _{0} e ^{ax}} LEFT ( e ^{qx} {dC} over {dx} +Cqe ^{qx} RIGHT ) -kC]

[eqn: 0=- {Q _{0}} over {A _{0}} e ^{(q-a)x} {dC} over {dx} - LEFT ( {qQ _{0}} over {A _{0}} e ^{(q-a)x} RIGHT ) C-kC]

[eqn: {Q _{0}} over {A _{0}} e ^{(q-a)x} {dC} over {dx} =- LEFT ( {qQ _{0}} over {A _{0}} e ^{(q-a)x} +k RIGHT ) C]

[eqn: int _{C _{0}} ^{C} {} {dC} over {C} = int _{0} ^{x} {} - LEFT ( q+ {kA _{0} e ^{(a-q)x}} over {Q _{0}} RIGHT ) dx]

[eqn: LEFT. ln {C} over {C _{0}} =-qx- {kA _{0}} over {(a-q)Q _{0}} e ^{(a-q)x} RIGHT | _{0} ^{x}]

[eqn: ln {C} over {C _{0}} = LEFT [ -qx- {kA _{0}} over {(a-q)Q _{0}} e ^{(a-q)x} + {kA _{0}} over {(a-q)Q _{0}} RIGHT ]]

[eqn: C=C _{0} exp LEFT [ -qx- {kA _{0}} over {(a-q)Q _{0}} e ^{(a-q)x} + {kA _{0}} over {(a-q)Q _{0}} RIGHT ]]

1차 소멸 반응(지수적으로 증가하는 유동율과 면적을 포함하는)에 대한 해는 거리 ([eqn: x])에 따라 지수적으로 감소하는 함수이지만, 농도 대 [eqn: x] 그래프의 정확한 형태는 [eqn: Q_0 /A_0]와 (a-q)에 달려있다.

2) 정상 상태, 하천에서 거리의 함수에 따라 지수적으로 감소하는 속도 상수.

For the case of steady state, exponentially decaying reaction coefficient along the distance in stream.

2). 이 경우의 해는 다음과 같다.

[eqn: 0=- {Q} over {A} {dC} over {dx} -(k _{0} e ^{-rx} )C]

[eqn: {bar{u}} =Q/A]

[eqn: {bar{u}} {dC} over {dx} =-(k _{0} e ^{-rx} )C]

[eqn: int _{C _{0}} ^{C} {} {dC} over {C} =- {k _{0}} over {{bar{u}}} int _{0} ^{x} {} e ^{-rx} dx]

[eqn: ln C over C_0 = k_0 over baru left| -1 over e^-rx right| = k_0 over {baru r} left| e^-rx right| _0^x]

[eqn: ln C over C_0 = k_0 over {baru r}(e^-rx -1)]

[eqn: C=C _{0} exp[-k _{0} (1-e ^{-rx} )/ {bar{u}} r]]

1차 소멸 반응(지수적으로 증가하는 유동율과 면적을 포함하는)에 대한 해는 [eqn: x]에 따라 농도가 감소하지만, 감소 속도는 거리에 따라 반응 속도 상수가 감소하기 때문에 느려진다.

4. [eqn: Q =Q_0 exp(qx)],[eqn: A =A_0 exp(ax)], [eqn: k =k_0 exp(-rx)]인 경우 플러그 유동 시스템에 대하여 물질이동식을 유도하고 정상상태에 대하여 해를 구하라.

Derive the mass transport equation for the case of the plug flow system with [eqn: Q =Q_0 exp(qx)],[eqn: A =A_0 exp(ax)], [eqn: k =k_0 exp(-rx)], and solve the differential equation for the cased of steady state.

본 문제는 이동 거리에 따라 유량, 단면적, 반응계수가 변하는 경우의 물질이동식 및 해에 대한 문제이다. 따라서 다음과 같이 물질이동식을 유도하고 그 해를 구하였다.

[eqn: partial(VC) over partialt = QC - (Q + DELTAQ)(C+DELTAC) -rV]

여기서 우변의 두 번째 항은 요소 검사 체적([eqn: Q+DELTAQ])과 수정된 외부 농도([eqn: C+DELTAC])로부터 증가된 유출량의 생성물인, 유출 질량이다.

[eqn: C partialV over partialt + V partialC over partialt =-(DELTAQ)C -Q(DELTAC) -(DELTAQ)(DELTAC) -rV]

일정한 부피 시스템(정상류)에 대하여, 위 방정식의 좌변의 첫째 항은 0 ([eqn: partialV/partialt = 0])이므로, 검사체적 증분([eqn: V =A DELTAx])으로 나누면 다음 식을 얻을 수 있다.

[eqn: partialC over partialt = - (DELTAQ)C OVER A(DELTAx) - Q OVER A DELTAC OVER DELTAx - (DELTAQ)(DELTAC) OVER A(DELTAx) -r]

[eqn: lim triangle x → 0~ partialC over partialt = - 1 over A C partialQ over partialx - Q over A partialC over partialx - {(partialQ) (partialC)} over {A partialx} - r]

위 식의 우변의 3번째 항은, 두 증가량의 변화의 곱이 식의 다른 항에 비해 작기 때문에, 무시된다고 가정한다.

최종 결과는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: partialC over partialt = - 1 over A partial(QC) over partialx -r]

방정식 (18)은 하천이나 강에서의 1차원 이동에 대한 일반적인 식이다. 모든 계수들이 거리와 시간의 함수이므로, 간단한 경우에는 결과식을 해석적으로 구할 수 있거나 특성법에 의해 수치적으로 구할 수 있다.

[eqn: partialC over partialt = - 1 over A(x,t){ partial[Q(x,t)C(x,t)]} over partialx -r(C,x,t)]

정상 상태 조건에서, 편미분 방정식을 상미분 빙정식으로 바꿀 수 있다.

[eqn: 0 = - 1 over A d(QC) over dx -r]

위 방정식의 해는 다음과 같다.

[eqn: 0 = - 1 over A(x){d[Q(x)C(x)]} over dx -kC]

[eqn: 0 = - 1 over{ A_0 e^ax} {d[ Q_0 e^qx C(x)]} over dx -kC]

[eqn: 0 = - Q_0 over{ A_0 e^ax} left( e^qx dC over dx + C q e^qx right) -kC]

[eqn: 0 = - Q_0 over A_0 e^(q-a)x dC over dx - left( qQ_0 over A_0 e^(q-a)x right)C -kC]

[eqn: Q_0 over A_0 e^(q-a)x dC over dx =- left( qQ_0 over A_0 e^(q-a)x + k right)C]

[eqn: int_{C_0}^C dC over C = int _0 ^x - left( q + {kA_0 e^(a-q)x} over Q_0 right) dx]

[eqn: ln C over C_0 = -qx - kA_0 over {(a-q)Q_0 } e^(a-q)x right|_0^x]

[eqn: ln C over C_0 = left[ -qx - kA_0 over {(a-q)Q_0 } e^(a-q)x + kA_0 over {(a-q)Q_0 } right]]

[eqn: C = C_0 exp left[ -qx - kA_0 over {(a-q)Q_0 } e^(a-q)x + kA_0 over {(a-q)Q_0 } right]]

1차 소멸 반응(지수적으로 증가하는 유동율과 면적을 포함하는)에 대한 해는 거리 ([eqn: x])에 따라 지수적으로 감소하는 함수이지만, 농도 대 [eqn: x] 그래프의 정확한 형태는 [eqn: Q_0 /A_0]와 (a-q)에 달려있다. 이 경우의 해는 다음과 같다.

[eqn: 0= - Q over A dC over dx -(k_0 e^-rx ) C]

[eqn: baru = Q/A]

[eqn: baru dC over dx = -(k_0 e^-rx ) C]

[eqn: int_{C_0} ^C dC overC = - k_0 overbaru int_0^x e^-rx dx]

[eqn: ln C over C_0 = k_0 over baru left| -1 over e^-rx right| = k_0 over {baru r} left| e^-rx right| _0^x]

[eqn: ln C over C_0 = k_0 over {baru r}(e^-rx -1)]

[eqn: C=C_0 exp [ -k_0 (1-e^-rx ) / baru r ]]

1차 소멸 반응(지수적으로 증가하는 유동율과 면적을 포함하는)에 대한 해는 [eqn: x]에 따라 농도가 감소하지만, 감소 속도는 거리에 따라 반응 속도 상수가 감소하기 때문에 느려진다.

5. Streeter-Phelps 모형에 대한 다음의 질문에 답하여라.

Answer the problems for the Streeter-Phelps model.

1) Streeter-Phelps 모형의 지배방정식을 서술하고 해를 유도하라.

Derive the governing equation of the Streeter-Phelps model and the solution of the system.

1) 지배방정식 및 해

1차 감소 반응으로 쓰면 아래와 같다.

[eqn: {Partial L} over {Partial t} =- {bar{u}} {Partial L} over {Partial x} -k _{d} L]

여기서, [eqn: L] = 최종 BOD 농도, [eqn: baru] = 평균 유속,[eqn: k_d] = 1차 탈산소 속도 상수(생물학적 분해능 계수)이다.

용존 산소의 경우에, 물질이동식은 다음과 같다.

[eqn: partialC over partialt = - baru partialC over partialx - k_d L + k_a (C_s - C)]

산소결핍농도로 나타낸다.

[eqn: D = Cs - C, ~~C = Cs - D]

[eqn: {partial(Cs-D)} over partialt = - baru {partial(Cs-D)} over partialx - k_d L + k_a D]

[eqn: {partialD} over partialt = - baru {partialD} over partialx + k_d L - k_a D]

정상상태조건에서의 CBOD와 DO의 물질이동식은 다음과 같다.

[eqn: baru dL over dx = -k_d L]

[eqn: bar{u} {dC} over {dx} =-k _{d} L~+k _{a} (C _{s} -C)]

여기서,[eqn: C] = 용존 산소 농도, [eqn: L] = 최종 BOD 농도, [eqn: C_s] = 포화 용존 산소 농도, ML-3

[eqn: k_a] = 1차 재포기 속도 상수이다. 위의 식을 산소결핍농도에 대한 식으로 표현하면 다음과 같다.

[eqn: bar{u} {dD} over {dx} =k _{d} L~-k _{a} D]

Streeter-Phelps 식을 재현하기 위하여, BOD 및 DO에 대한 연립해가 필요하다. 상미분 방정식으로 되어있지만, BOD의 물질이동방정식을 거리에 따라 BOD 농도 (L)에 대해 직접 풀 수 있고, L의 식을 DO 식에 대입할 수 있기 때문에, 두 식은 분리되어 있다. BOD 농도에 대한 식 (21)의 해가 아래와 같이 식 (25)와 (26)에 의해 주어져 있다. :

[eqn: partialL over partialt = - baru partialL over partialx -k_d L],   [eqn: baru dL over dx = -k_d L]

[eqn: int_{L_0}^L dL overL = -k_d over baru int _0 ^x dx]                (25)

[eqn: L= L_0 e^{-k_d x/baru}]                        (26)

위의 해를 DO에 대한 식에 대입한다.

[eqn: {partialD} over partialt = - baru {partialD} over partialx + k_d L - k_a D]

[eqn: partialL over partialt = - baru partialL over partialx -k_d L],   [eqn: baru dL over dx = -k_d L]

[eqn: int_{L_0}^L dL overL = -k_d over baru int _0 ^x dx]

[eqn: L= L_0 e^{-k_d x/baru}]

[eqn: {partialD} over partialt = - baru {partialD} over partialx + k_d L - k_a D]

[eqn: baru dD over dx = +k_d L_0 e^{-k_d x/baru} -k_a D]

[eqn: baru dD over dx +k_a D =k_d L_0 e^{-k_d x/baru}])

적분인자법을 이용한다.

[eqn: dy over dt + p(t)y =q(t)]

[eqn: y = y_0 e^-mu(t) + e^-mu(t) int_0 ^t e^mu(t) q(t) dt]

여기서, [eqn: mu(t) = int p(t) dt]는 적분인자; [eqn: q(t)]는 부하 함수; [eqn: y]는 종속변수; [eqn: t]는 독립변수이다. 따라서, 다음과 같다.

[eqn: y =D], [eqn: t= x], [eqn: p(t) =k_a / baru], [eqn: q(t) = {k_d L_0} over baru e^{-k_d x/ baru}]

일반해는 다음과 같다.

[eqn: D=D_0 e^{-k_a x / baru} + e^{-k_a x / baru} int_0 ^x e^{-k_a x / baru} left( {k_d L_0} over baru e^{-k_a x / baru} right) dx]

[eqn: D=D_0 e^{-k_a x / baru} + {k_d L_0} over baru e^{-k_a x / baru} left| baru over {k_a - k_d} e^{(k_a - kd )x / baru} right|_0 ^x]

[eqn: D=D_0 e^{-k_a x / baru} + {k_d L_0} over {k_a - k_d } e^{-k_a x / baru} (e^{(k_a -k_d ) x / baru} -1)]

[eqn: D=D_0 e^{-k_a x / baru} + {k_d L_0} over {k_a - k_d } (e^{-k_d x / baru} -e^{-k_a x / baru})]

위의 식은 1차원, 정상 상태, 플러그 유동 시스템에서, 점 오염원이 BOD를 배출한 이후의, 거리에 대한 용존 산소 부족량의 최종해이다. 부족량대신 용존 산소 농도를 구할 수 있다.

[eqn: C=C_s -( C_S -C_0 ) e^{-k_a x / baru} - {k_d L_0} over {k_a - k_d } (e^{-k_d x / baru} -e^{-k_a x / baru})]

Streeter-Phelps의 전형적인 D.O. sag curve, 위 : 최종 BOD 농도는 거리에 따라 지수적으로 감소한다. 중간 : D.O. 부족량은 하천내 탈산소율이 재폭기율과 같을 때, 최고점에 도달한다. 아래 : D.O. sag curve의 임계점은 거리가 [eqn: x_c]일 때이다.

2) 임계거리 및 임계 용존산소부족농도에 대한 식을 유도하라.

Derive the equations for the critical distance and critical concentration of the oxygen deficit.

임계 부족량과 거리 ([eqn: D _{c,} x _{c}].).

임계 거리([eqn: x=x _{c}])에서, 재폭기율은 탈산소율과 같으며, 산소 농도([eqn: dC/dx])와 부족량([eqn: dD/dx])의 변화량이 0인 최고치를 갖는다. 이 사실은 [eqn: dD/dx=0]일 때, 다음 식으로부터 보여줄 수 있다.

[eqn: {bar{u}} {dD} over {dx} =k _{d} L-k _{a} D],   [eqn: k _{d} L=k _{a} D~~at~x=x _{c}]

정상 상태 조건에서, 임계 부족량과 하류방향의 거리는 다음 식을 이용하여, 양해적으로 구할 수 있다.

[eqn: {bar{u}} {dD} over {dx} +k _{a} D=k _{d} L _{0} e ^{-k _{d} x/ {bar{u}}}]

임계 부족량에 대하여 풀면, 다음의 식이 도출된다.

[eqn: D _{c} = {k _{d} L _{0}} over {k _{a}} e ^{-k _{d} x/ {bar{u}}}]

위의 식을 용존산소 부족량에 대한 다음 식에 대입하면, 임계거리([eqn: x _{c}])를 구할 수 있다.

[eqn: D=D _{0} e ^{-k _{a} x/ {bar{u}}} + {k _{d} L _{0}} over {k _{a} -k _{d}} (e ^{-k _{d} x/ {bar{u}}} -e ^{-k _{a} x/ {bar{u}}} )]

[eqn: x _{c} = {{bar{u}}} over {k _{a} -k _{d}} ln {k _{a}} over {k _{d}} LEFT ( 1- {(k _{a} -k _{d} )} over {k _{d}} {D _{0}} over {L _{0}} RIGHT )]

만약 초기 용존 산소 부족량이 [eqn: x=0]에서 0이라면 (D.O.는 [eqn: C _{s}]로 포화되어 있음), 위의 식은 다음과 같이 단순화된다.

[eqn: x _{c} = {{bar{u}}} over {k _{a} -k _{d}} ln {k _{a}} over {k _{d}}]

6. 다음 그림과 같이 입자상 오염물에 의한 침전이 있는 경우에 대하여 다음의 질문에 답하여라.

Answer the problems for the case of the particulate pollutants with sedimentation as shown in the diagram.

1) 그림을 이용하여 BOD 분해와 DO의 재포기 과정을 포함한 물질이동식을 서술하라.

Describe the mass transport equations including the BOD decomposition and reaeration of DO using the diagram.

2) DO 결핍농도에 대한 해를 상미분방정식의 적분인자법을 이용하여 구하여라. 적분인자법의 적용방법에 대하여 상세히 기술하라.

Derive the solution of the DO deficit for the ordinary differential equation by using the integration factor method. Explain in detail about the application method of the integration factor method.

Streeter-Phelps식 CBOD가 완전 용존함을 의미하고, 하천에서의 CBOD 감소는 탈산소(용존 유기물의 산화)에 의해서만 이뤄진다. 그러나, 입자상 BOD는 폐수처리장에서 아주 잘 배출된다. 도시하수처리장에서는 TSS 30mg/L, CBOD 30 mg/L까지 포함하는 것을 허용한다. TSS는 BOD 측정에 영향을 미칠 수 있는 유기물을 포함한다. 만약 CBOD가 입자상 형태라면, 그것은 수주에서 침전할 것이다. 따라서 위의 그림과 같이 침전을 포함하는 수정된 Streeter Phelps 식을 고려하여야 한다.

[eqn: u {dL} over {dx} =-k _{r} L]	[eqn: L=L _{o} exp(-k _{r} x/u)]

[eqn: u dD over dx = k_d L -k_a D] [eqn: u dD over dx = k_d L_o exp{(-k_r x/u)}L -k_a D]

여기에서, [eqn: k_r] = 총 CBOD 손실율 상수 =[eqn: k _{s} +k _{d}] 이다.,

위의 식은 Streeter-Phelps 식과 매우 유사한 형태이며 적분인자법으로 해를 구한다.

[eqn: D=D _{o} exp LEFT ( - {k _{a} x} over {u} RIGHT ) + {k _{d} L _{o}} over {k _{a} -k _{r}} LEFT [ exp LEFT ( {-k _{r} x} over {u} RIGHT ) -exp LEFT ( {-k _{a} x} over {u} RIGHT ) RIGHT ]]     (65)

Streeter-Phelps 식은 [eqn: k_r] 을 [eqn: k_d]로 치환한 것을 제외하고는 유사한 식이다. DO 부족곡선의 기울기(DO "sag" 곡선)는 Streeter-Phelps와 유사하지만, 하천에서 침전하는 동안 CBOD 농도는 배출점 가까이에서 매우 급격히 감소한다.

하천에서 시간에 따른 CBOD의 반로그 그래프. 두 개의 기울기가 있는데: [eqn: k _{r}]은 입자상물질의 침전과 탈산소가 모두 일어나는 경우; [eqn: k _{d}]는 단지 탈산소만 일어나는 경우이다.

위의 내용에 1), 2) 질문에 대한 답이 있음.

7. 재폭기, 침전, 분해, 광합성, 호흡, 퇴적물산소요구량, 비점오염원이 있는 경우의 DO 모형의 모식도 및 관계된 식을 설명하라. DO 결핍농도의 해를 상미분방정식의 해법으로 자세히 구하여라.

Explain the diagram and relevant equations of the DO model when there are reaeration, deposition, decomposition, photosynthesis, respiration, sediment oxygen demand, and nonpoint source. Derive the solution of DO deficit in detail of the ordinary differential equation.

CBOD([eqn: L]), 질소에 의한 탈산소를 가지는[eqn: (k _{n} )] NBOD, 탄소성 탈산소[eqn: (k_d )], 재폭기[eqn: (k_a )], CBOD의 침전[eqn: (k _{s} )], 순 광합성[eqn: (P-R)], SOD[eqn: (S)] 등을 포함하는 DO 모형의 모식도를 다음 그림에 나타냈다. 플러그 유동의 강에서 DO 부족에 대한 전체적인 물질평형식은 다음과 같다.

[eqn: {Partial D} over {Partial t} =-u {Partial D} over {Partial x} `-`k _{a} D``+`k _{d} L````+``k _{n} N````+ {S} over {H} +(R-P)# 증가``````````````이류``````폭기````CBOD``NBOD``````SOD`````호흡# ``````````````````````````````유송````````````````````````````분해````````````````````````````````````````````````````````````-광합성]

정상상태를 가정하면, 위의 식의 우변의 함수를 선형상미분방정식의 형태의 식으로 재배열할 수 있다.

[eqn: {Partial L} over {Partial t} =-u {Partial L} over {Partial x} -k _{r} L],  [eqn: u dL over dx = -k_r L] , [eqn: L=L _{o} exp(-k _{r} x/u)]

[eqn: u dD over dx + k_a D=k_d L_o e ^{-k_r x/u} + k_n N_o e ^{-k_n x/u} + S over H + (R -P)]

위의 식은 일반적인 비균일상미분방정식인데 적분인자법으로 풀 수 있다.

[eqn: D=D _{o} e ^{-k _{a} x/u} + {k _{d} L _{o}} over {k _{a} -k _{r}} (e ^{-k _{r} x/u} -e ^{-k _{a} x/u} )+ {k _{n} N _{o}} over {k _{a} -k _{n}} (e ^{-k _{n} x/u} -e ^{-k _{a} x/u} )# ```````````````+ {S} over {k _{a} H} (1-e ^{-k _{a} x/u} )+ {R-P} over {k _{a}} (1-e ^{-k _{a} x/u} )+ {k _{d} L _{b}} over {k _{a}}]

이 식의 우변에서 첫 항은 재폭기를, 두 번째 항은 초기 CBOD[eqn: (L_o )]를, 세 번째 항은 초기 NBOD를, 네 번째 항은 퇴적물 산소요구량을, 다섯 번째 항은 [eqn: (R-P)]을, 마지막 항은 비점오염원이 원인인 이면 BOD([eqn: L _{b}])를 나타낸다. 다음 표에 주어진 위의 식에 대해서 합산할 수 있는 각각의 발생항과 소비항에 대한 개별적인 해를 나타냈다. 다음 그림에 주어진 전체 해를 합산할 수 있는 각각의 발생항과 소비항에 대한 도식적인 해를 나타냈다.

플러그-유동 강에서 용존산소결핍농도의 물질이동식과 해석해에 기여하는 발생원과 소비원

Sources of Deficit 산소부족의 원인	Mass Balance Equation 물질수지식	Solution 해
Initial deficit, [eqn: D _{o}]	[eqn: u {dD} over {dx} =-k _{a} D]	[eqn: D=D _{o} e ^{-k _{a} x/u}]
CBOD	[eqn: u {dD} over {dx} =-k _{a} D+k _{d} L]	[eqn: D= {k _{d} L _{o}} over {k _{a} -k _{r}} (e ^{-k _{r} x/u} -e ^{-k _{a} x/u} )]
NBOD	[eqn: u {dD} over {dx} =-k _{a} D+k _{n} D]	[eqn: D= {k _{n} N _{o}} over {k _{a} -k _{n}} (e ^{-k _{n} x/u} -e ^{-k _{a} x/u} )]
Sediment oxygen demand	[eqn: u {dD} over {dx} =-k _{a} D+ {S} over {H}]	[eqn: D= {S} over {k _{a} H} (1-e ^{-k _{a} x/u} )]
Net(respiration-production)	[eqn: u {dD} over {dx} =-k _{a} D+(R-P) _{avg}]	[eqn: D= {R-P} over {k _{a}} (1-e ^{-k _{a} x/u} )]
Background deficit	[eqn: u {dD} over {dx} =-k _{a} D _{b} +k _{d} L _{b}]	[eqn: D _{b} = {k _{d} L _{b}} over {k _{a}}]
Summation of sources and sinks	Overall equation 전체 물질이동식	Solution equation 해석해

8. 하구나 대규모 강인 경우의 확산을 포함하는 하천에 대하여 물질이동식을 서술하라. 정상상태의 조건에 대하여 1차원 물질이동식인 2계 상미분 방정식의해를 경계조건을 고려하여 구하라.

Describe the mass transport equation of the stream when there is dispersion phenomena such as estuaries or large rivers. Derive the solution of the second order ordinary differential equation of one dimensional mass transport equation considering the boundary conditions.

1) 하구나 대규모 강의 물질이동식

BOD의 경우 다음과 같이 이류유송과 확산이동을 포함하는 일차원 물질이동식으로나타낼 수 있다.

[eqn: {Partial L} over {Partial t} =- {1} over {A} {Partial (QL)} over {Partial x} + {1} over {A} {Partial } over {Partial x} (EA {Partial C} over {Partial x} )-k _{d} L]

위 식의 단면적, 유량, 확산계수는 시간과 공간에 따라 변한다.

D.O. 결핍 방정식은 다음과 같다.

[eqn: {partialD} over {partialt} = - 1 over A {partial(QD)} over {partialx} + 1 over A {partial} over {partialx}(EA {partialD} over {partialx}) + k_d L - k_a D]

2) 정상상태 조건에서 상미분방정식의 해

(1) BOD 농도

정상상태 및 일정한(상수)계수의 조건하에서, 위의 식은 대규모 강(하천) 또는 하구에서의 BOD-D.O. 고갈에 대해 단순화하여 해석할 수 있다.

[eqn: + E {d^2 L} over {dx^2} - u{dL} over {dx} - k_d L = 0]

[eqn: + E {d^2 D} over {dx^2} - u{dD} over {dx} - k_a D + k_d L = 0]

위 식의 해석해는 일정한 계수를 가진 2차 선형 상미분방정식의 해석해이다. 그 식은 일반적인 (강제 함수가 없는) 2차 대수방정식 형태의 제차방정식이다:

[eqn: ay'' + by' +cy = 0]

이 경우 다음과 같은 항등식을 구할 수 있다.

[eqn: a = E], [eqn: b = -u], [eqn: c = - k_d]

일반해는 다음과 같은 형태이다.

[eqn: Y = Ae^gx + Be^jx]

여기서 [eqn: A]와 [eqn: B]는 경계조건으로부터 결정된 적분상수이고; [eqn: g]와 [eqn: j]는 대수방정식의 근이다([eqn: g․j]의 표기법은 두 근을 의미한다, “[eqn: g]와 [eqn: j] ”).

[eqn: g cdot j = {-b ± SQRT { b^2 - 4ac} } over {2a} = {u ± SQRT { u^2 + 4k_d E} } over {2E}]

[eqn: g CDOT j= {u} over {2E} LEFT [ 1± sqrt {1+ {4k _{d} E} over {u ^{2}}} RIGHT ]]

또는

[eqn: g CDOT j= {u} over {2E} [1±m]]

여기서, [eqn: m = SQRT {1+{4k_d E} over {u^2}}]

위의 식에서 적분상수 A와 B를 구하기 위해서, 상류 및 하류의 경계조건을 이용해야 한다. 다음 그림은 문제의 개략도이다. 분석해를 2개 부분으로 나누어야 한다. (1) 폐수 배출지점(W)의 상류구획; (2) 배출지점의 하류 구획, 연안의 평활 하구인 경우 해양에 이르는 모든 경로를 의미한다.

이류분산모형에서의 하구의 BOD와 D.O. 농도

가장 상류 지점에서의 BOD 농도는 0으로, [eqn: x = 0]인 배출지점에서 BOD 농도는 최대([eqn: L_0])가 될 것이다. 상류에 대해서는 다음과 같은 경계 조건을 가진다.

BC 1 : at [eqn: x= - inf , L = 0]

BC 2 : at [eqn: x= 0 , L = L_0]

근 [eqn: g]는 항상 양수이고 [eqn: j]는 항상 음수이기 때문에, 식 (104)의 제1경계조건에 근거하여 식(101)의 적분상수 B는 0이 되어야 한다.

[eqn: L = A e^g(-inf) + B e^j(-inf) = 0] at [eqn: x= - inf]	∴ B = 0

식 (105)의 제2경계조건으로부터 적분상수 A가 [eqn: L_0]와 같다는 것을 알 수 있다.

[eqn: L = A e^0 + B ~~e^0 = L_0]  at [eqn: x=0]	[eqn: ∴ A = L_0]

상류구획의 BOD에 대한 해는 다음과 같다.

[eqn: L = L_0 e^gx]  for x ≤ 0

여기서, [eqn: g= u over 2E [1 + m]], [eqn: m = SQRT {1+{4k_d E} over {u^2}}]

이와 같이, 하류구획에 대한 식(101)의 해는 다음의 경계조건에 근거한다.

BC 1 : at [eqn: x= + inf , L = 0] ∴ A = 0

BC 2 : at [eqn: x= 0 , L = L_0][eqn: ∴ B = L_0]

해는 다음의 식과 같다.

[eqn: L = L_0 e^jx]  for x ≥ 0

여기서, [eqn: j= u over 2E [1 - m]], [eqn: m = SQRT {1+{4k_d E} over {u^2}}]

식(108)과 (111)에서 [eqn: g]의 절대값은 항상 [eqn: j]의 절대값보다 크다. 그러므로 다음 그림 에 나타난 바와 같이 이동과 분해로 인한 BOD의 지수 감소는 하류에서보다 상류에서 더욱 크다. 식(108)과 (111)의 해에 따르는 확산혼합과 탈산소(분해)의 결과와 같이  BOD 농도는 양방향에서 지수적으로 감소한다.

(2) DO 결핍 농도

[eqn: E {d^2 D} over {dx^2} - u{dD} over {dx} - k_a D = k_d L]

위 식의 우변의 부하함수는 BOD 농도를 포함하며, 우리는 상류와 하류에서의 D.O. 부족량 방정식의 해를 위해서는 식(108)과 (111)에 대입시켜야 한다. 해의 일반적인 형태는 다음과 같다.

[eqn: y = Ae^gx + Be^jx + y_p (x)]

여기서, [eqn: y_p (x)]는 비제차 함수에 대한 특정 해이다. 불확정 계수법에 의해서 푼다. 시행착오법을 사용하여 다음과 같이 특정해를 구한다.

[eqn: y_p = {k_d W} over {(k_a - k_d )Qm_1} exp left [{ux} over {2E} (1 ± m_1 )} right ]]

여기서 [eqn: m_1 = SQRT {1+{4k_d E} over {u^2}}]s

이것은 이미 사전에 언급되어진 [eqn: m]과 동일한 정의이지만, 우리는 지금 제차방정식의 특수해의 근수로부터 구분해야 한다. 해의 상류 값은 양의 근으로 하고 하류의 경우에는 음의 근을 사용한다. 배출점으로부터 상류와 하류방향내의 A와 B를 결정하기 위한 경계조건과 일반해[식(118)]를 통해서 식(117)을 푼다.

BC 1 : at [eqn: x= + inf , D = 0]                (120a)

BC 2 : at  [eqn: x= 0 , D = D_0]                 (120b)

BC 3 : at [eqn: x= - inf , D = 0]                (120c)

[eqn: D_0]의 값을 구하는 것은 배출점에서의 미소한 얇은 단면주위의 질량평형(유입=유출)에 의하여 성취된다. 배출물이 용존산소로 포화되었다고 가정한다면, 분산과 이류에 의한 D.O. 부족량에 있어서의 유출․입이 있게 된다. 반응이 미소단면상의 D.O. 부족량 평형에 영향을 미칠 만큼 충분한 시간이 주어지지는 않는다.

[eqn: left [-EA dD_1 over dx right |_x=0 + QD_0 right ] ~->~ {LEFT | RIGHT |} atop {triangle x} ~->~][eqn: left [-EA dD_2 over dx right |_x=0 + QD_0 right ]]        (121)

유입                                유출

식(121)의 양변의 이류항은 삭제되기 때문에, 식은 우리에게 배출점에서의 D.O. 부족량의 물질 유동은 배출점으로부터 나온 물질유동과 동일하다라는 것을 말해준다-비록 BOD 측면도에서 [eqn: x = 0]일 때 뾰족한 끝점을 나타낸다 할지라도 D.O. 부족량 측면도는 부드럽게 나타난다.

D.O. 결핍 농도의 최종해는 다음과 같다.

[eqn: D = {k_d W} over {(k_a - k_d )Q} left [ 1 over m_1 exp left {{ux} over {2E}} (1 ± m_1 ) right }][eqn: - 1 over m_2 exp left {{ux} over {2E}} (1 ± m_2 ) right }right ]]

여기에서 [eqn: m_2 = SQRT {1+{4k_a E} over {u^2}}], [eqn: m_1 = SQRT {1+{4k_d E} over {u^2}}]

9. 물질이동식의 확산계수, 유속, 반응속도상수 등의 파라미터를 추정하는 방법을 설명하라.

Explain the estimation method of the parameters of the mass transport equation such as dispersion coefficient, velocity, and reaction coefficient.

방 법	이 론	장 점	단 점
민감도 분석	상태변수의 변화량을 구하기 위해 시간에서 ±1%만큼 파라미터를 변경	사용하기 편하고 개념적으로 간단하다.	진정한 불확실성 분석은 아니다. 파라미터가 다른 파라미터와 독립적이 아닐 것이다.
1차 분석	파라미터값의 불확실성의 함수와 같이 상태변수에 대한 분산방정식을 직접 푼다(해결된 선형 접근법)	파라미터간의 공분산 관계를 유지한다. 복잡한 모형도 짧은 시간안에 계산한다.	실제해에 대한 근사값이다. 고차 비선형 방정식의 경우, 이 방법은 아주 정확하지 않다. 파라미터에 의존하고 평균과 표준편차가 필요하다.
Monte Carlo 분석	기지값 또는 가정한 오차 분포로부터 파리미터를 임의적으로 선택. 기대값과 분산(불확실성)을 구하기 위해 모형을 여러번 실행한다.	정확한 해. 파라미터의 통계에 의존하지 않느다(평균고 표준편차). 일반적으로 극한에서 오차가 적다.	재현성의 유의 수를 통계적으로 생성하는 데 많은 계산시간이 필요하다. 파라미터와 변수간의 공분산 구조를 유지하지 못한다.

Part II. Water Environment Managemnent

Ch.1 Introduction

1. 환경문제를　해결하기　위하여　시스템적인　해석이　필요한　이유와　시스템적인　해석　방법은　무엇인지　설명하라．

Explain the reason why system analysis is required for the solution of environmental problems. What is the environment system analysis?

1) 지구 온난화 등의 기후변화에 의한 자연 및 환경 재해의 발생

지구온난화 등에 의한 지구의 환경 파괴는 급격한 지구의 기후 변화를 가져와 태풍 및 가뭄, 고온 및 산불 등 지구의 여러 지역에 막대한 자연 재해적 피해를 입히고 있다. 우리나라도 2004, 2003, 2002년도의 태풍 및 집중 호우에 의한 피해에서 볼 수 있듯이 국지적 호우의 관리가 매우 중요한 문제로 대두되고 있다. 이러한 집중 호우 및 폭우의 발생 형태는 규모가 매우 방대할 뿐만 아니라 기존의 정적인 관리 체제로는 대비할 수 없을 정도로 급격하게 빠른 속도로 재해가 진행되고 있어서 국내의 인프라로는 속수무책으로 피해를 당하고 있다. 이러한 재해는 수자원 및 수환경 관리 시설뿐만 아니라 산림 등의 자연자원, 도로, 건물 등 사회 모든 분야의 인프라에 대한 막대한 피해를 발생시키고 있다. 따라서, 수자원 개발 및 수환경 관리를 위해서는 수해를 고려한 사업 추진이 필수적이다.

2) 역동적인 수자원 및 수환경 관리 체계의 구축

선진국의 수자원 및 수환경 관련 사업에서 볼 수 있듯이 이러한 수해에 대비한 사업은 강우발생원으로부터 최종 방류수계까지 배수에 관련된 모든 분야를 포함한다. 이러한 재해적 호우 관리를 위해서는 기존의 정적인 재해 대책 기술보다는 매우 동적으로 빠른 시간에 강우 발생원으로부터 최종 방류지역까지 광범위한 지역의 관련 모든 분야(수자원 및 수환경)을 미리 통합 관리할 수 있는 예비적 비상 대비 체제의 구축이 필수적이다.

3) 국내의 우수한 정보 통신 인프라를 이용한 웹 기반 관리 기술의 구축

이러한 비상 체제는 모니터링 및 관리 시설 등의 하드웨어적 분야와 예측 제어를 위한 소프트웨어 분야를 포함한다. 소프트웨어 분야가 없이는 예측제어가 불가능하다. 즉, 물의 발생원으로부터 최종 방류 수계까지 다음과 같은 분야에 대한 예측 정보 관리 시스템의 구축을 필요로 한다.

o 강우 예측 시스템

o 유역에서 지표 유출 및 지하 유동 예측 시스템

o 유역내 저류 시스템 (시설내 저류, 지표저류, 지하침투 및 저류 등)

o 수계(하천 및 호수) 및 하수관거내 유동 예측 시스템

o 수계 및 하수관거내 저류를 위한 예측 제어 시스템

o 최종 방류 수계(연안)의 유동 예측 시스템

o 최종 방류 수계(하구언, 하수처리장)의 예측 제어 시스템

２．통합적　환경　관리　시스템에　대하여　설명하라．

Explain the integrated environment management system.

1) 강우수 중심의 통합적 수자원 및 수환경 관리 시스템의 구축

위에 제시된 시스템은 수자원 및 수환경 관리에 있어서 최근 제일 중요한 방법으로 인식되고 있는 우수관리기술과 일치한다. 즉, 강우수를 중심으로 물 관리 시스템은 수자원과 수환경 관리를 모두 포함한다. 또한, 위에 제시된 시스템은 수자원개발에 있어서 수자원의 발생원으로부터 최종 방류 수계까지 모든 부분을 통합 개발할 수 있는 방법이기도 하다. 이러한 통합적인 관리는 지표수, 지하수, 대체수자원 개발 분야를 포함하는 수해를 고려한 통합적 개발 기술을 의미한다. 호우 관리는 자연 재해 대비 기술이외에 호우시 지표 및 지하 유출을 통하여 해양으로 무조건 방류되고 있는 막대한 양의 수자원을 저류 이용하기 위한 방향으로 사업이 진행되어야 할 것이다. 해양으로 무조건 방류되는 수자원은 양적인 문제뿐만이 아니라 물이 가지는 막대한 에너지를 활용하지 못하고 있다고 할 수 있다. 따라서, 물을 저류함으로서 홍수 피해를 방지할 뿐만이 아니라 수자원을 확보하고 에너지를 저류하는 효과를 기대할 수 있을 것이다. 이러한 기술중 하나의 예로 홍수방재 및 지하수 개발을 동시에 가져올 수 있는 지하저류기술의 적용을 들 수 있다. 이러한 저류 기술 적용시 강우에 의한 유출 유량 해석시 지표유출부분과 지하유출부분을 통합하여 해석하여만 정확한 유출량의 정보 해석 및 제어가 가능할 것이다. 즉, 이러한 기술의 핵심 부분은 통합적 강우수 관리 기술이다.

막대한 수자원을 개발한다고 하여도 오염이 심화된다면 사용할 수 없는 수자원으로 개발의 의미가 없을 것이다. 그러므로 환경친화적인 수자원 개발이 필수적이다. 이러한 환경친화적으로 수자원을 개발하기 위해서는 수자원 부분과 수환경 부분을 통합적으로 관리하여야 할 것이다. 즉, 사업의 계획 단계에서부터 수자원과 수환경 부분을 통합한 사업의 진행이 필요하다. 건전한 수자원을 개발하여 가용 수자원의 양을 극대화하기 위해서는 환경 보전을 고려한 양질의 수자원을 개발하는 사업의 진행이 필수적이다.

따라서, 지표수, 지하수, 대체 수자원, 환경의 4개 사업 부분의 개발 및 진행 상황을 통합적으로 계획, 진단, 관리할 수 있는 시스템의 개발 및 적용이 필수적이라고 할 수 있다. 이러한 시스템은 관련 정보를 해석하고 시설을 제어할 수 있는 시스템을 의미하며, 정보 처리 기술이외에 관련된 수자원 및 수환경 분야의 통합적 관리 기술의 정립이 우선되어야 가능할 것이다. 이러한 관리기술은 수자원 및 수환경에 관련된 정보의 현장계측, 해석, 예측 기술과 관련된 시설의 예측적 제어 부분을 포함한다. 즉, 자연 및 환경 재해를 방지하면서 양질의 수자원의 개발을 극대화할 수 있도록, 각 사업별로  관련된 모든 분야를 통합하여 집중적으로 개발하는 기술을 의미한다고 할 수 있다. 이러한 기술 개발을 위해서는 전체 분야에 대한 통합적이고 광범위한 이해를 가지고 있는 전문가 집단의 구축이 필수적이다. 즉, 시스템의 개발도 중요하지만, 이러한 시스템 개발 경로 및 시스템 활용을 통한 전체적인 전문지식과 경험을 소유할 수 있는 전문가들의 교육 및 창출이 매우 중요하다.

2) 범용적 관리 시스템 개발

수자원 및 수환경에 관련된 정보 및 관리 시설은 그 자료가 매우 방대하고 다양하다. 또한 장래에 개발될 기술에 따라 해석하여야 할 자료는 더욱 늘어날 것이다. 따라서, 이러한 방대하면서 다양한 현상을 해석하고 시설물을 제어하기 위해서는 다양한 현상에 관련된 지배방정식에 대한 일반적인 해석을 수행할 수 있는 범용적 수학적 해석 기술의 개발이 필요하다. 외국의 경우 유체역학 분야나 구조역학 분야에 관련된 일반적인 수치모형이 개발되어 있다. 따라서, 국내의 실정에 적합한 수자원 및 수환경 분야에 관련된 범용적 수치 모형의 개발이 절실히 필요하다고 할 수 있다.

정보통신망의 발달에 따라 장래의 정보처리기술은 무선통신을 이용한 중앙통제형 처리 방식으로서 휴대폰이나 PDA 등을 이용하여 누구나 시간 및 공간적 제한이 없이 정보를 처리할 수 있는 방향으로 진행될 것이다. 따라서, 수자원 관련 정보 처리나 시설 제어의 전산 시스템을 정보통신망상에 운영함으로서 정보 관리 및 시설 제어 사업의 효율을 극대화할 수 있을 것이다. 이러한 분야를 효과적으로 달성하기 위해서는 국내에 이미 잘 구축되어 있는 정보통신 인프라를 이용하여 인터넷의 정보 처리 및 시설 제어를 십분 활용할 수 있는 정보통신프로그램의 개발이 필요하다. 즉, 강우수 관리에 관련된 모든 분야의 정보를 처리하고 시설을 모니터링 및 제어할 수 있는 기술을 웹상에서 관리 운영할 수 있는 시스템 및 기술의 개발이 필요하다.

따라서 본 연구 과제의 목표는 지속가능한(환경친화적인) 수자원 개발을 효과적으로 달성하기 위하여 수환경 및 수자원(지표수, 지하수, 대체수자원)을 통합 관리할 수 있는 정보관리시스템을 개발하고 이러한 정보관리시스템을 웹상에서 운영하는 데 있다. 연구과제명이 의미하는 바와 같이 본 연구과제는 수자원기술, 환경기술, 정보기술을 포함하는 광범위하면서도 신기술에 대한 연구를 필요로 하고 있다.

３．EPA, USGS, DHI, 미국　공병단　등　외국의　연구　기관에서　개발된　모형을　열거하고　간단히　설명하라．

Describe  the developed models by EPA, USGA, DHI, and U.S. Army Corp of Engineers.

1) 모형 개발에 관련된 대표적 국외 연구 기관

전산 모형 개발 관련 대표적인 외국의 연구 기관은 다음과 같다.

o 덴마아크의 DHI 수리연구소 (Danish Hydraulic Institute : www.dhi.dk)

o 덴마아크의 DELFT 수리연구소 (Delft Hydraulics : www.wdelft.nl)

o 영국의 CHAM (Concentration, heat and momentum limited : www.cham.co.uk)

o 미국의 FLUENT (www.fluent.com)

o 미국의 USGS (지질조사국, http://www.usgs.gov/pubprod/software.html)

o 미국의 EPA (www.epa.gov/waterscience)

o 미국의 육군 공병단의 HEC (www.hec.usace.army.mil)

이러한 연구 기관에서 개발된 전산 모형 현황은 다음과 같다.

2) 대표적 외국 개발 모형

(1) 덴마아크 Delft Hydraulics (www.wdelft.nl)

다음의 모형들에서 알 수 있듯이 본 기관은 해수 유동 해석 모형을 주로 개발하여왔으나 최근에는 우수한 오염현상 해석 모형(Delft3d)을 개발하고 있다.

Delft3d : 연안 및 하천에서의 2, 3차원 유동 및 오염 해석 모형

Sobek : 하천, 수로, 하수관거 및 연안에서의 일차원 해석 모형

Ribasim : 하천유역해석 모형

Hymos : 수자원 관리, 지표수 및 지하수 수문 해석 모형

Delft-FLS : 홍수의 부정류 해석 모형

Delft-Chess : 연안, 항구, 해안 공학에서의 해석 모형

Delft-Waves : 해양에서의 파랑 해석 모형 (배와 구조물에서의 파랑 해석)

Wanda : 관망에서 정류 및 부정류 해석

Flustrin : 관에서 1차원 부정류 및 구조 해석 모형

Delft-Tools : 임의적인 모사 모형의 통합을 위한 의사 결정 보조 시스템

Delft-Fews : 조기 홍수 경보 시스템

Auke/generate : 실험연구를 위한 고품질의 파랑 발생 모형

Estmorf : 연안지형 해석 모형

DELCON : 가스발생을 포함한 퇴적물 침하 해석 모형

(2) 덴마아크 DHI (Danish Hydraulic Institute : www.dhi.dk )

DHI도 원래는 해양수리 해석 모형을 주로 개발하였으나, 다음에서 보여 주는 바와 같이 수환경 및 수자원의 종합적인 관리 모형을 개발하고 있다. 특히, 하천, 호수, 유역, 연안, 지하수, 하수관거, 상수관망 등 수자원에 관련된 모든 부분에 대한 연구를 추진하고 있으며 모든 모형을 ArcGIS에 연결하기 위한 노력으로서 ESRI 회사와 협력 협정을 추진하였다.

MIKE 21 : 연근해 및 해양 수치 모델링, 토사이동, 환경수리학, 파랑변형

MIKE 11 : 하천 및 유역 해석, 유상 이동, 홍수지도, 수질

MIKE 3 : 해양 항만 및 원해, MIKE 21의 3차원 해석

MIKE SHE : 토양 및 지하, 지하 침출수, 관개

MIKE BASIN : GIS 기반의 유역관리

MIKE FLOOD : 1차원 및 2차원 홍수 해석

MIKE 21C : 하천 지형 해석

MOUSE : 하수도, 하수 관망 해석, 수질

MIKE SWMM : 폐수 및 우수 관리, 폐수 및 우수 관리를 위한 통합 시스템

EFOR : 하수처리장 운영

LITPACK : 해안 수리, 해안선 변형, 퇴적, 침식 현상

MIKE NET : 상수도,상수 관망 해석, 잔류 염소

HYPRESS : 상수도, 수충격 해석

(3) 미국 USGS(United State Geological Survey : http://water.usgs.gov/software/)

미국 지질조사국은 매우 다양하고 많은 모형을 무상으로 제공하고 있다. 수자원 alc 수환경 에 관련된 응용 소프트웨어로서 지표수, 지하수, 수질, 지질화학 분야로 나누어 여러 모형을 제공하고 있다.

- 지표수

ANNIE (DOS/Sun) - Version: 4.1 last updated 2002/02/25

Interactive Hydrologic Analyses and Data Management

BRANCH (DOS/DG/Sun) - Version: 4.3 last updated 1997/06/05

Branch-Network Dynamic Flow Model

BSDMS (DOS/DG) - Version: 2.1 last updated 1996/03/01

Bridge Scour Data Management System

CAP (DOS/DG/SGI/Sun) - Version: 97-08c last updated 1999/11/15

Culvert Analysis Program

CGAP (DOS/DG/Sun) - Version: 3.5 last updated 1995/10/06

Channel Geometry Analysis Program

DAFLOW (DG) - Version: 1.2 last updated 1996/11/04

Streamflow routing in upland channels or channel networks

DR3M (DOS/DG) - Version: 2.1 last updated 1996/03/01

Distributed Routing Rainfall-Runoff Model--version II

FEQ (DOS/DG) - Version: 8.92 last updated 1999/04/07

Full EQuations Model

FESWMS-2DH (DG) - Version: 1.10.DG1 last updated 1995/06/07

Finite-element surface-water modeling system for two-dimensional flow in the horizontal plane

FOURPT (DG/Sun) - Version: 95.01 last updated 1995/09/06

An unsteady, one-dimensional, open-channel flow model

GenScn (Win) - Version: 1.0 last updated 1998/08/14

GENeration and analysis of model simulation SCeNarios

GLSNET (DOS/DG) - Version: 2.5 last updated 1997/09/29

Regional Hydrologic Regression and Network Analysis Using Generalized Least Squares

HSPEXP (DOS/DG) - Version: 2.3 last updated 1996/03/01

Expert System for Calibration of HSPF

HSPF (DOS/DG) - Version: 11.0 last updated 1996/03/01

Hydrological Simulation Program--Fortran

HYSEP (DOS/DG/Sun) - Version: 2.2 last updated 1997/06/10

Hydrograph Separation Program

IOWDM (DOS/Sun) - Version: 4.1 last updated 2002/02/25

Input and Output to a Watershed Data Management file

MEASERR (DOS/DG/Sun) - Version: 2.5 last updated 1994/04/19

A Program for Determination of Error in Individual Discharge Measurements

MODBRNCH (DOS/DG/Sun) - Version: 3.7 last updated 1997/06/05

Ground-Water/Surface-Water Coupled Flow Model using USGS MODFLOW and BRANCH Models

MODEIN (DOS/DG/Sun) - Version: 1.4 last updated 1998/01/16

Computation of total sediment discharge by the modified Einstein procedure

NCALC (DOS/DG/Sun) - Version: 2.6 last updated 1995/03/30

Manning's n value calculation program

NFF (WIN) - Version: 3.2 last updated 2003/04/30

National Flood Frequency program

PEAKFQ (DOS/Sun) - Version: 4.1 last updated 2002/02/25

Flood-frequency analysis based on Bulletin 17B

PRMS (DOS/DG) - Version: 2.1 last updated 1996/01/17

Precipitation-Runoff Modeling System

SAC (DOS/DG/Sun) - Version: 97-01 last updated 1997/05/01

Slope-Area Computation Program

SEDDISCH (DOS/DG/Sun) - Version: 1.2 last updated 1998/01/16

Computation of fluvial sediment discharge

SEDSIZE (DOS/DG/Sun) - Version: 1.9 last updated 1997/06/02

Particle-size statistics of fluvial sediments

SWSTAT (DOS/Sun) - Version: 4.1 last updated 2002/02/25

Surface-Water Statistics

WSPRO (DOS/DG/Sun) - Version: V060188 last updated 1996/01/17

A Computer Model for Water-Surface PROfile Computations

- 지하수

AIRSLUG (DOS/DG/SGI/Sun) - Version: 1.1 last updated 1996/03/12

A Fortran program to generate type curves to interpret the recovery data from prematurely terminated air-pressurized slug tests

ANALGWST (DG) - Version: 1.1 last updated 1996/04/03

A set of programs that calculate analytical solutions for one-, two-, and three-dimensional solute transport in ground-water systems with uniform flow

AQTESTSS Version 1.0, October 4, 2002

Several spreadsheets for the analysis of aquifer-test and slug-test data.

BIOMOC (DOS/DG/SGI/Sun) - Version: 1.0 last updated 1999/03/10

A multispecies solute-transport model with biodegradation

CONTOUR (DG/SGI/Sun) - Version: 2.5 last updated 1996/01/24

A contouring program for gridded data

HST3D (DOS/DG/Sun) - Version: 2.0.10 last updated 2001/08/01

Three-dimensional flow, heat, and solute transport model

HYDROTHERM (DG/SGI/Sun) - Version: 2.2 last updated 1997/06/23

Three-dimensional finite-difference model to simulate multiphase ground-water flow and heat transport in the temperature range of 0 to 1,200 degrees Celsius

HYSEP (DOS/DG) - Version: 2.2 last updated 1997/06/10

Hydrograph Separation Program

MF2K_GWT, MOC3D, and related programs

2D and 3D flow and transport; 2D, 2-consituent, variable density

MODBRNCH (DOS/DG/Sun) - Version: 3.7 last updated 1997/06/05

Ground-Water/Surface-Water Coupled Flow Model using USGS MODFLOW and BRANCH Models

MODFE (DG/Sun) - Version: 1.2 last updated 1995/08/08

Modular Finite-element Model for areal and axisymmetric ground-water flow problems

MODFLOW, MODFLOW-2000 and related programs

3D flow, transport, particle tracking, water budget, user-interfaces, surface-water interactions, and parameter estimation

MODFLOWP (DOS/DG/Sun) - Version: 3.2 last updated 1997/10/09

Parameter-Estimation Version of the Modular Model (obsolete program--superseded by MODFLOW-2000)

SEAWAT (DOS) - Version 2.10 last updated 2/7/2002

A computer program for simulation of three-dimensional variable-density ground water flow

SHARP (DOS/DG/SGI/Sun) - Version: 1.1 last updated 1999/05/10

A quasi-three-dimensional, numerical finite-difference model to simulate freshwater and saltwater flow separated by a sharp interface in layered coastal aquifer systems

SUTRA and related programs

2D, 3D, variable-density, variably-saturated flow, solute or energy transport

UCODE (DOS/UNIX) - Version: 3.04 last updated 2003/04/05

A computer code for universal inverse modeling

VS2DH (SGI/Sun/Win) - Version: 3.0 last updated 2000/02/09

Model for simulating water flow and energy transport in variably saturated porous media

VS2DI (SGI/Sun/Win) - Version: 1.1 last updated 2000/02/09

A graphical software package for simulating fluid flow and solute or energy transport in variably saturated porous media

Windows version updated 2001/09/18 to support execution on Pentium 4 processors

VS2DT (SGI/Sun/Win) - Version: 3.0 last updated 2000/02/09

Model for simulating water flow and solute transport in variably saturated porous media

- 수질

BIOMOC (DOS/DG/SGI/Sun) - Version: 1.0 last updated 1999/03/10

A multispecies solute-transport model with biodegradation

BLTM (DG) - Version: 1.2 last updated 1996/11/04

Branched Lagrangian Transport Model

DOTABLES (on-line) - Version: 1.2 last updated 1999/03/16

Dissolved oxygen saturation tables

GenScn (Win) - Version: 1.0 last updated 1998/08/14

GENeration and analysis of model simulation SCeNarios

HSPEXP (DOS/DG) - Version: 2.3 last updated 1996/03/01

Expert System for Calibration of HSPF

HSPF (DOS/DG) - Version: 11.0 last updated 1996/03/04

Hydrological Simulation Program--Fortran

OTIS (Multiple platforms available)

One-dimensional transport with inflow and storage (OTIS): A solute transport model for streams and rivers

SWPROD (DG) - Version: 1.2 last updated 1996/03/18

Determination of Primary Productivity and Community Metabolism in Streams and Lakes using Diel Oxygen Measurements

- 지질화학

LIMS for Light Stable Isotopes (Win) -

Version: 7.13 last updated 2000/11/08

Version: 8.13 last updated 2000/11/08

A Laboratory Information Management System (LIMS) based on Microsoft Access for managing samples, analyses, and other data in a stable isotope (and tritium , carbon-14, and chlorofluorocarbon) laboratory

SPREADBAL-2002 -- Documentation for the mineral mass balance spreadsheet referenced in Bowser and Jones (2002) American Journal of Science v. 302 p. 582-662.

NETPATH (DOS/DG/Sun) - Version: 2.13 last updated 1996/12/30

Interactive program for calculating NET geochemical reactions and radiocarbon dating along a flow PATH

PHREEQC (DOS/Linux/Mac/Sun) and PHREEQCI (Win)

PHREEQC is a program for speciation, batch-reaction, one-dimensional transport, and inverse geochemical calculations

PHREEQCI is a graphical user interface to PHREEQC for Windows operating systems.

PHRQPITZ (DOS/DG/Sun) - Version: 1.12 last updated 1994/06/01

Geochemical calculations in brines

WATEQ4F (DOS/DG/Sun) - Version: 2.46 last updated 2002/10/23

A program for calculating speciation of major, trace, and redox elements in natural waters

- 기타

LIBANNE (DOS/Sun) - Version: 4.0 last updated 2002/02/25

A collection of related libraries for use in hydrologic applications

LIBHSP - Version: 11.1

A collection of related libraries for the Hydrological Simulation Program--Fortran (HSPF)

LIBUTL (DOS/DG/Sun) - Version: 6.0 last updated 1997/02/05

Utility libraries for interactive prompting, device-independent graphics, and time-dependent data base access

SYSDOC (DG) - Version: 1.0 last updated 1996/03/01

System Documentation for Fortran Source Code

TDDS (DOS/DG/Sun) - Version: 6.0 last updated 1997/03/06

Time-Dependent Data System for Simulation Models

UCODE (DOS/UNIX) - Version: 3.04 last updated 2003/04/05

A computer code for universal inverse modeling

(4) 미국 HEC (Hydrological Engineering Center :

http://www.hec.usace.army.mil/default.html)

다음과 같은 모형을 무상으로 제공하고 있다.

HEC-RAS : 하천의 일차원 유동 (River Analysis System)

HEC-GeoRas : HEC-RAS + ArcView

HEC-HMS : 강우 유출 모형 (Hydrologic Modeling System)

HEC-GeoHMS : HEC-HMS + ArcView

HEC-FDA : 홍수 피해 해석 모형 (Flood Damage Analysis)

CE-QUAL-R1 : 일차원(연직방향) 호수 수질 해석 모형

CE-QUAL-W2 : 이차원(연직, 종방향) 수질 해석 모형

CE-QUAL-RIV1 : 일차원 유동 및 수질 해석 모형

CE-QUAL-ICM : 2차원 및 3차원 수질 해석 모형

(5) 미국 EPA(Environment Protection Agency : www.epa.gov/waterscience)

위 기관에서는 수환경 관련 많은 모형을 무상으로 제공하고 있으며, 다음의 Web Site에 가면 여러 모형에 대한 자세한 자료를 입수할 수 있다.

http://www.epa.gov/ceampubl/

BASINS : 유역관리모형, GIS에 연계되어 있음.

QUAL2E, Windows : 하천수질관리 모형

AQUATOX : 수생태계 해석 모형, 유기독성물질 해석.

WASP6 : 부영양화, 독성물질 등의 해석 가능

(6) 영국 CHAM ( www.cham.co.uk )

영국의 CFD (Computational Fluid Dynamics) 분야의 범용적 해석 모형 개발업체로서 PHOENICS (Parabolic, Hyperbolic, or Elliptic Numerical Integration Codes)를 시판하고 있다. 본 업체에서는 온 라인으로 모형에 관련된 모든 시스템, 정보, 교육 등을 제공하고 있으며, 웹 기반 모형으로 발전시키기 위하여 노력하고 있다. 즉 멀지 않은 장래에 온 라인으로 모델링을 수행할 수 있을 것이다. 모형의 이름이 의미하는 바와 같이 모든 형태의 편미분방정식을 해석할 수 있는 범용적 편미분 방정식 Solver로 발전 개발되었으며, 강력한 Visual Engine으로서, 가상현실적 표현 방법을 사용하고 있다. 개발 응용 분야는 모든 공학, 환경, 건축, 물리학 분야 등이다. 최근에는 해수 유동 및 유류 오염 등 수환경에 관련된 문제도 해석하고 있다.

(7) 미국 FLUENT (www.fluent.com)

본 모형은 1983년 10월에 처음 개발된 이후에 CFD 분야의 상업적 범용적 해석 모형으로 발전하였으며, 관련된 모든 공학 문제를 해석하고, 최근에는 온 라인으로 해석할 수 있는 모형으로 개발되었다. 즉, 웹 기반 Simulator로 발전된 것이다.

４．환경시스템공학은　무엇을　다루는　학문인가？

What kind of science is dealt with in Environment System Engineering?

환경시스템 공학은 물, 대기, 토양 등의 환경계에 존재하는 오염원을 효과적으로 관리하기 위하여 오염물질의 이동 및 변환에 관련된 현상을 해석하고 환경관리시설을 최적으로 운영하기 위하여 시스템적인 측면에서 해석, 관리, 운영 기술을 개발하는 학문이다. 환경시스템공학은 일반적으로 환경관리를 위한 수리, 수질학적인 물리, 화학, 생물학적인 이론을 공부하고 실제 설계를 위하여 정보통신 기술을 최대한 활용하여 관련 분야에 대한 DB, GIS, Model, Monitoring and Control 등에 대한 기술을 연구 개발한다.

Ch.2 QUAL2E

1. 물의 흐름에 대하여 검사체적을 그리고 3차원 연속방정식을 유도하라.

Derive the three-dimensional continuity equation by using the control volume for the water flow.

■ 3차원 연속방정식으로부터 물질이동식을 유도하는 경우

밀도에 대한 3차원 연속방정식은 다음과 같이 유도할 수 있다. 3차원 직교좌표계에 대하여, 점 ([eqn: x,y,z])를 중심으로 하는 다음 그림의 작은 부피 [eqn: delta x delta y delta z]를 검사체적으로 택하고, 이에 대하여 질량보전법칙을 적용한다.

직각좌표계에서 3차원 연속방정식 유도를 위한 검사체적

중심점의 유체입자가 갖는 [eqn: x,``y,``z]의 속도성분을 각각 [eqn: u,``v,``w]그리고 밀도를 [eqn: rho]라고 정의한다. 먼저 [eqn: x]방향에 수직한 한 쌍의 면을 통하여 관류하는 유출유량을 생각하여 보자. [eqn: rho]와 [eqn: u]가 유체내에서 연속적으로 변하는 것으로 가정해야 하므로 오른쪽 면으로 유출되는 질량유량은 다음과 같다.
[eqn: LEFT [ rho u+ {Partial } over {Partial x} LEFT ( rho u RIGHT ) {Partial x} over {2} RIGHT ] delta y delta z]

여기서, [eqn: rho u delta y delta z]는 [eqn: x]축에 수직한 면을 통하여 관류하는 질량유량이다. 그리고 둘째 항은 [eqn: x]에 관한 질량유량의 증가율에 오른쪽 면까지의 거리 [eqn: delta x/2]를 곱한 것으로써 유체가 [eqn: delta x/2]만큼 이동하면서 증가된 질량유속이다. 같은 방법으로 왼쪽 면을 통하여 검사체적에 유입되는 질량유량은 간격이 [eqn: -delta x/2]라는 것을 고려하면 다음과 같다.

[eqn: LEFT [ rho u- {Partial } over {Partial x} LEFT ( rho u RIGHT ) {delta x} over {2} RIGHT ] delta y delta z]

따라서, 질량의 유입유량에서 유출유량을 빼주면 다음과 같다.

[eqn: - {Partial } over {Partial x} LEFT ( rho u RIGHT ) delta x delta y delta z]

다른 두 방향에 대하여도 똑같은 방법으로 생각할 수 있다. 따라서 전체 검사체적에 대하여 질량의 유입유량에서 유출유량을 빼 주면 다음과 같다.

[eqn: -` LEFT [ {Partial } over {Partial x} LEFT ( rho u RIGHT ) + {Partial } over {Partial y} LEFT ( rho v RIGHT ) + {Partial } over {Partial z} LEFT ( rho w RIGHT ) RIGHT ] delta x delta y delta z]

검사체적내에서 시간에 따라 증가되는 질량의 증가율은 다음과 같다.

[eqn: {Partial rho } over {Partial t} delta x delta y delta z]

따라서, 질량보전법칙의 위의 두 개의 식을 대입한 다음, [eqn: delta x delta y delta z]로 나누어주고 [eqn: delta x delta y delta z]가 0에 접근할 때의 극한값을 취하면, 한 점에서의 3차원 연속방정식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

[eqn: {Partial rho } over {Partial t} = - [ {Partial } over {Partial x} LEFT ( rho u RIGHT ) + {Partial } over {Partial y} LEFT ( rho v RIGHT ) + {Partial } over {Partial z} LEFT ( rho w RIGHT )]]

비압축성 정류에서는 다음과 같이 간단하게 된다.

[eqn: {Partial u} over {Partial x} + {Partial v} over {Partial y} + {Partial w} over {Partial z} =`0]

벡터 미분을 사용하여 표현하면 다음과 같다.

[eqn: vec NABLA = veci {Partial } over {Partial x} + vec j {Partial } over {Partial y} + vec k {Partial } over {Partial z}]

속도벡터 [eqn: vec q]는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: vec q = vec i u + vec j v + vec k w]

질량유량의 3차원 미분 표현은 다음과 같이 표시된다.

[eqn: {vec{NABLA }} CDOT ( rho {vec{q}} )= LEFT ( {vec{i}} {Partial } over {Partial x} + {vec{j}} {Partial } over {Partial y} + {vec{k}} {Partial } over {Partial z} RIGHT ) CDOT LEFT ( {vec{i}} rho u+ {vec{j}} rho v+ {vec{k}} rho w RIGHT )][eqn: = {Partial } over {Partial x} LEFT ( rho u RIGHT ) + {Partial } over {Partial y} LEFT ( rho v RIGHT ) + {Partial } over {Partial z} LEFT ( rho w RIGHT )]

따라서, 3차원 연속방정식은 다음과 같다.

[eqn: {Partial rho } over {Partial t} = - vec NABLA cdot rho vec q]

dot 곱 [eqn: vec NABLA cdot vec q]를 속도벡터 [eqn: vec q]의 다이버전스(divergence) 혹은 3차원 미분값이다. 이는 각 방향별 단위체적당 질량유량의 변화율을 더해준 것을 의미하며, 검사체적을 통과하여 유출되는 질량을 의미한다.

위의 식은 전미분(total derivative)을 사용하여 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.

[eqn: {D rho } over {Dt} =0]

물질이동식은 위의 경우처럼 검사체적에 대하여 물질의 농도에 대한 질량보전법칙을 적용하여 각 방향별 이류유송, 확산이동, 생화학적 변환, 생성(소멸)항 등을 고려하여 지배방정식을 유도할 수 있다. 그러나, 이런 방법을 쓰는 대신에 위의 물상에 대한 연속방정식을 조그만 변환하면 유도할 수 있다. 즉, 주 변수를 물상에 대한 단위 부피당 질량인 밀도를 쓰는 대신에 물질에 대한 단위 부피당 질량인 농도 [eqn: C], 다음과 같이 단위속도 대신에 유속과 분산에 의한 이동속도를 사용한다.

[eqn: vec q = vec V - bold D vec Del]

따라서, 물질이동식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: { partial C } over { partial t } = - vec Del cdot ( vec V C - bold D vec Del C ) + kC + S]

[eqn: { partial C } over { partial t } = vec Del cdot ( bold D vec Del C ) - vec Del cdot ( vec V C ) + kC + S]

위의 식의 좌변은 물질의 시간에 따른 증가율, 우변은 분산에 의한 이동율, 유속에 의한 이동율, 생화학적 반응에 의한 변환율, 경계지역 및 발생원으로부터의 부하율을 나타낸다.

2. 검사체적을 그리고, 이류유송, 확산이동, 생화학적 반응, 직접 오염 부하항 등을 포함하는 3차원 물질이동식을 유도하라.

Derive the three-dimensional mass transport equation including the terms for the advective flux, dispersive flux, biochemical reaction, and direct pollutant source for the control volume.

물질평형으로부터 3차원 물질이동방정식을 유도하기 위한 검사체적을  x, y, z 방향을 고려하여 다음과 같이 나타내었다.

각 방향으로의 이동은 유사한 형태를 나타내므로 x 방향에 대한 유속 및 확산에 의한 이동항만 위의 그림에 나타내었고, 같은 물질이동을 y 및 z 방향에 대하여 물질평형 법칙을 적용하면 다음과 같이 삼차원 물질이동방정식을 유도할 수 있다.

유입, 유출, 내부에서의 생화학적 반응 및 소멸 및 발생원 등을 고려한 물질평형법칙은 다음과 같이 평형식으로 나타낼 수 있다.

내부증가율 = 유입율 - 유출율 ± 생화학적 반응 ± 오염부하율

위의 평형식의 각 항은 다음과 같이 평가된다.

․o 유속에 의한 이류 유송율 : [eqn: uC]

․o 확산에 의한 확산 이동율 : [eqn: -D {Partial C} over {Partial x} `]

․o 생화학적 반응율 : [eqn: {Partial C} over {Partial t} `=`±kC]

․o 발생원 및 소멸원의 오염부하율 : ± S

위의 검사체적 그림에 x, y, z 방향에 대하여 위의 항들을 적용한다음 물질 평형을 적용하면 다음과 같은 3차원 물질이동의 차분식을 구할 수 있다.

[eqn: {TRIANGLE C} over {TRIANGLE t} TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z`=] [eqn: LEFT [ LEFT { (uC)+ LEFT ( -D {Partial C} over {Partial x} RIGHT ) RIGHT } _{x} - LEFT { (uC)+ LEFT ( -D {Partial C} over {Partial x} RIGHT ) RIGHT } _{x+ TRIANGLE x`} RIGHT ] TRIANGLE y TRIANGLE z]

[eqn: +` LEFT [ LEFT { (vC)+ LEFT ( -D {Partial C} over {Partial y} RIGHT ) RIGHT } _{y} - LEFT { (vC)+ LEFT ( -D {Partial C} over {Partial y} RIGHT ) RIGHT } _{y+ TRIANGLE y`} RIGHT ] TRIANGLE x TRIANGLE z]

[eqn: +` LEFT [ LEFT { (wC)+ LEFT ( -D {Partial C} over {Partial z} RIGHT ) RIGHT } _{z} - LEFT { (wC)+ LEFT ( -D {Partial C} over {Partial z} RIGHT ) RIGHT } _{z+ TRIANGLE z`} RIGHT ] TRIANGLE y TRIANGLE x][eqn: +(kC+S) TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z]

위의 식을 [eqn: TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z]으로 나누어준 후 미분화하면 다음의 3차원 물질이동식을 얻을 수 있다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = NABLA D` NABLA C- NABLA ( vec{V} C)+kC+S]

3．복합 혹은 다중 다상 시스템의 개념을 설명하라.

Explain the conceopt of the composite or multicomponent multiphase system.

지표 및 지하의 물, 공기, 토양을 포함한 복합 (다중) 다상 매체에서의 유체 거동 해석을 위한 물리, 화학, 생물학적 이론 및 모형 개발에 대한 이론은 지하 및 해양 오염 분야에서의 유류 오염 및 대기 분야에서의 산성비 등에 대한 연구를 중심으로 1990년대 이후로 많은 결과를 도출하였다. 복합다상시스템의 개념 및 물질, 힘, 평형 방정식은 다음과 같으며, 이러한 평형의 개념으로부터 물질이동식 및 운동방정식이 도출되었다.

1) 복합다상시스템의 개념

지표 및 지하에서 존재 가능한 모든 상과 유체의 이동 형태를 다음 <그림 1-1>과 같이 나타낼 수 있다. 통상 이러한 시스템은 불연속체이기 때문에 연속체를 가정으로 한 지배 방정식을 유도하기 위해서 <그림 1-1>의 대표적 요소부피(Representative Elementary Volume)을 선정하여 이러한 부피내의 모든 속성들을 평균화하여 연속체 내에서의 질량 및 운동에 대한 지배방정식을 유도한다. 이러한 과정은 미시적인 불연속체를 거시적인 연속체로 변화하는 과정을 의미한다. 통상 복잡한 수학적인 이론을 이용하여 나타나게 되는데, 이러한 수학적인 유도과정 대신에 <그림 1-2>의 체계적 검사체적을 이용하여 간단히 지배식을 유도할 수 있다. <그림 1-2>에 나타난 것처럼, 체계적 검사 부피는 각상의 부피분율 또는 포화도와 각 상내에 존재하는 물질의 질량분율로 표현되는 복합다상시스템을 표현하는 방법이다

.

<그림 1-1> 복합다상시스템         <그림 1-2> 부피분율과 질량분율.

2) 복합다상시스템내 물질 이동의 질량평형방정식

위의 체계적 검사 체적을 이용하여 각 상내 포함되어 있는 물질 i에 대한 질량평형관계를 고려하여 미시적 물질수지식을 유도한 다음, Fick 플럭스를 사용하여 거시적 물질수지식을 얻을 수 있다. 입자의 유속에 의한 이동과 자체 발생율만 고려하여 전체 상내의 i 물질에 대한 질량평형관계를 고찰하면 다음과 같다.

[eqn: sum _{alpha =1} ^{4} LEFT [ (m _{alpha } ^{i,n+1} -m _{alpha } ^{i,n} ) DELTA x DELTA y DELTA z= LEFT ( {m _{alpha } ^{i,n} V _{alpha ,x} ^{i} -m _{alpha } ^{i,n} V _{alpha ,x+ DELTA x} ^{i}} over {DELTA x} +.....+g _{alpha } ^{i} RIGHT ) DELTA t RIGHT ]]

여기서,   i = 각 상내 구성물의 종류를 표시하는 지수

[eqn: alpha] = 물, 유류, 가스, 고형물(토양) 상등을 나타내는 지수

n = 시간공간을 나타내는 지수

[eqn: m _{alpha } ^{i,n} = {M _{alpha }} over {DELTA x DELTA y DELTA z} = {M _{alpha }} over {U} = {U _{alpha }} over {U} {M _{alpha } ^{i}} over {U _{alpha }} = theta _{alpha } C _{alpha } ^{i} = {U _{alpha }} over {U} {M _{alpha }} over {U _{alpha }} {M _{alpha } ^{i}} over {M _{alpha }} = theta _{alpha } rho _{alpha } w _{alpha } ^{i}]

= n 시각에서의 복합다상시스템내의 단위부피당 질량

[eqn: V _{alpha ,x} ^{i}] = 입자의 x 방향의 유속

[eqn: g _{alpha } ^{i}] = 생화학적반응이나 유입원에 의한 [eqn: alpha]상내 i 물질의 생성속도

[eqn: theta _{alpha } = {U _{alpha }} over {U} = {U _{alpha }} over {U _{v}} {U _{v}} over {U} = phi S _{alpha }] = 각 상의 부피분율

[eqn: phi] = 토양의 공극율,  [eqn: S _{alpha }] = 각 상의 포화도

[eqn: C _{alpha } ^{i} = {M _{alpha } sup i } over {U _{alpha }} = {M _{alpha } sup i } over {M _{alpha }} {M_{alpha } } over {U_{alpha }} = rho _{alpha } w _{alpha } ^{i}]= [eqn: alpha] 상내의 i 물질의 농도

[eqn: w _{alpha } ^{i} = {M _{alpha } ^{i}} over {M _{alpha }} = {alpha 상내i물질의질량} over {alpha 상의질량} = alpha] 상내 i 물질의 질량분율

위의 물질평형식을 미분식으로 변환한 후에 각 물질의 농도차에 의한 분자확산에 의한 이동을 더하면 다음과 같은 미시적 물질수지식을 얻을 수 있다.

[eqn: sum _{} ^{} LEFT [ {Partial m _{alpha } ^{i}} over {Partial t} + NABLA (m _{alpha } ^{i} vec{V _{alpha } ^{i}} )= NABLA bold{D _{m, alpha } ^{i}} NABLA m _{alpha } ^{i} +g _{alpha } ^{i} RIGHT ]]

여기서,  i = 각 상내 구성물의 종류를 표시하는 지수

[eqn: alpha] = 물, 유류, 가스, 고형물(토양)상 등을 나타내는 지수

[eqn: vec V sub alpha sup i] = [eqn: alpha] 상내의 i 물질의 속도

[eqn: D _{m, alpha } ^{i}] = [eqn: alpha] 상내의 i 물질의 농도차이에 의한 분자 확산 계수

거시적 물질평형식을 유도하기 위하여 입자유속을 상의 유속 및 확산으로 표현하기 위하여 다음과 같이 유체 상의 유속을 가감한다.

[eqn: vec{V _{alpha } ^{i}} = vec{V _{alpha }} + vec{V _{alpha } ^{i}} - vec{V _{alpha }}]

미시적 입자의 유속에 의한 유송은 다음과 같이 거시적 상의 유속에 의한 유송과 난류 유송의 합으로 표현될 수 있다. 이때 난류 유송은 Fick의 수리적 확산의 형태로 표현된다.

[eqn: m _{alpha } ^{i} vec{V _{alpha } ^{i}} =m _{alpha } ^{i} vec{V _{alpha }} +m _{alpha } ^{i} ( vec{V _{alpha } ^{i}} - vec{V _{alpha }} )= theta _{alpha } C _{alpha } ^{i} vec{V _{alpha }} + theta _{alpha } C _{alpha } ^{i} ( vec{V _{alpha } ^{i}} - vec{V _{alpha }} )]

[eqn: = theta _{alpha } C _{alpha } ^{i} vec{V _{alpha }} - theta _{alpha } bold{D _{alpha } ^{i}} NABLA C _{alpha } ^{i} = theta _{alpha } rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} vec{V _{alpha }} - theta _{alpha } bold{D _{alpha } ^{i}} NABLA ( rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} )]

위의 유속에 의한 이류항 및 확산항을 미시적 물질평형식에 삽입하면 다음과 같은 거시적 물질수지식을 얻을 수 있다. 본 식은 각 상의 i 물질의 유속 및 확산에 의한 이동, 내부 발생원을 포함한다.

[eqn: sum _{alpha =1} ^{4} LEFT [ {Partial ( theta _{alpha } rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} )} over {Partial t} + NABLA ( theta _{alpha } rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} vec{V _{alpha }} )= NABLA ( theta _{alpha } bold{D _{alpha } ^{i}} NABLA ( rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} ))+ theta _{alpha } I _{alpha } ^{i} + theta _{alpha } g _{alpha } ^{i} RIGHT ]]

여기서, 확산계수[eqn: bold{D _{alpha } ^{i}}]는 각 상의 유속 및 복합물질의 특성에 좌우된다.

복합다상유동의 물질이동식을 운동방정식과 연계하여 풀어주면 지표 및 지하의 유체 유동의 압력 및 유속을 구할 수 있다. 각 상별 토질 공극내에서의 존재 정도 즉 포화도 혹은 부피분율은 각 상간의 압력차에 의한 실험식이나, 부피분율에 대한 방정식을 물질이동식, 연속방정식과 연계하여 해석함으로서 구할 수 있다. 또한, 각 상에 존재하고 있는 물질의 농도는 이미 계산된 각 상의 압력 및 유속을 이용하여 물질이동식을 질량분율 혹은 농도에 대하여 재구성하여 해석함으로서 계산할 수 있다.

3) 복합다상시스템내 물질 이동의 운동방정식

유체의 압력, 중력, 점성력 및 각 상의 상대적 유속차에 의한 반발력을 고려하여, [eqn: alpha] 상내의 [eqn: i] 물질에 대하여 힘 평형관계를 고려하여 미시적 Navier-Stoke 식을 유도하면 다음과 같다.

[eqn: rho _{alpha } ^{i} {D vec{V _{alpha } ^{i}}} over {Dt} =- NABLA (P _{alpha } ^{i} + rho _{alpha } ^{i} gy)+ mu _{alpha } NABLA ^{2} vec{V _{alpha } ^{i}} + vec{R _{alpha } ^{i}}]

여기서, [eqn: rho _{alpha } ^{i}]는 [eqn: alpha] 상내의 [eqn: i] 물질의 밀도이고, [eqn: P _{alpha } ^{i}]는 이 물질에 작용하는 압력이고, [eqn: vec{R _{alpha } ^{i}}] 는 상간 유속의 차이에 의한 반발력, [eqn: mu _{alpha }]는 동역학적 점성계수, y 는 수직방향을 나타낸다.

반발력은 운동량 교환에 대한 개념으로 [eqn: alpha] 상내의 [eqn: i] 물질의 운동에 비하여 천천히 움직이는 유체가 저항하는 힘을 나타내는 것이다. 다음과 같은 실험식으로 나타낼 수 있다.

[eqn: vec{R _{alpha } ^{i}} = theta _{alpha } {mu _{alpha }} over {bold{lambda _{alpha }}} ( vec{V _{s} ^{i}} - vec{V _{alpha } ^{i}} )]

여기서, [eqn: bold{lambda _{alpha }}] 는 [eqn: alpha]상의 유체 전도도 계수이고, [eqn: vec{V _{s} ^{i}}]는 토양 상내의 [eqn: i] 물질의 유속이다.

각 상내의 모든 물질에 대한 힘평형 관계를 합하면 다음과 같은 다중다상시스템에서의 미시적 운동방정식을 얻을 수 있다.

[eqn: sum _{i=1} ^{ns} LEFT [ rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} {D vec{V _{alpha } ^{i}}} over {Dt} =- NABLA (P _{alpha } ^{i} + rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} gy)+ mu _{alpha } NABLA ^{2} vec{V _{alpha } ^{i}} + vec{R _{alpha }} RIGHT ]]

지하에서 유체의 유동은 유속이 느린 점을 고려하고, 각 상간의 점성 효과를 무시하고, 복합의 영향을 무시하면 ([eqn: sum _{} ^{} rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} = rho _{alpha } , sum _{} ^{} P _{alpha } ^{i} =P _{alpha } , sum _{} ^{} R _{alpha } ^{i} =R _{alpha }]), 이동성 토질의 공극 매질에 있어서의 각 상의 유속은 운동방정식을 풀 필요없이 다음과 같이 수정된 Darcy의 식으로 나타내게 된다.

[eqn: vec{V _{alpha }} =- {bold{lambda _{alpha }}} over {theta _{alpha } mu _{alpha }} NABLA (P _{alpha } + rho _{alpha } gy)+ vec{V _{s}}] [eqn: =- bold{k} {k _{r alpha }} over {theta _{alpha } mu _{alpha }} ( NABLA P _{alpha } - rho _{alpha } vec{g} )= vec{V _{D}} + vec{V _{s}}]

[eqn: vec{V _{D}} =- bold{k} {k _{r alpha } rho _{w} g} over {theta _{alpha } mu _{alpha }} NABLA ( {P _{alpha }} over {rho _{w} g} + {rho _{alpha }} over {rho _{w}} y)=- {bold{K _{alpha }}} over {theta _{alpha }} NABLA (h _{alpha } + {rho _{alpha }} over {rho _{w}} y)=- {bold{K _{alpha }}} over {theta _{alpha }} NABLA H _{alpha }]

여기서, [eqn: bold{K _{alpha }} = bold{k} {k _{r alpha } rho _{w} g} over {mu _{alpha }}]는 유체 투과도계수,[eqn: bold{k}]는 토양 및 유체 특성에 따라 결정되는 고유 투과도 계수, [eqn: k _{r alpha }]는 상대적 투과도 계수, [eqn: vec{V _{D}}]은 수정된 Darcy의 유속, [eqn: vec V sub s]은 토양의 이동 속도이다.

4) 복합다상유동의 물질이동식

지점별 물의 밀도의 변화를 무시할 수 있다면, 압력항을 물의 수두항으로 변환하여, 지배식의 표현을 간단화할 수 있다. 흡착항을 분리시킨 다음, 연속방정식과 운동방정식을 합하면 복합다상시스템에서의 유체 유동에 대한 일반적인 이동방정식이 유도된다. 통상, 지하 매체 공극 변화 정도가 작으므로, 지하 매체의 토양 구조의 변화 및 유체의 압축성에 의한 저류능을 고려하여야 한다. 이러한 토양의 저류능력은 각 유체상의 압축성 및 대수층 토질의 압축성에 의존한다. 따라서, 공극 매질 및 유체의 저류능력에 대한 계수를 고려하여 이동방정식의 시간 미분항들을 변환하면, 다음의 지하내 유체의 복합다상유동의 일반적인 지배식을 구할 수 있다.

[eqn: sum _{alpha =1} ^{3} LEFT [ sum _{beta =1} ^{3} ( rho _{beta } w _{beta } ^{i} S _{beta } S _{beta alpha } ) {Partial h _{alpha }} over {Partial t} + phi rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} {Partial S _{alpha }} over {Partial t} + phi rho _{alpha } S _{alpha } {Partial w _{alpha } ^{i}} over {Partial t} RIGHT ] + {Partial ((1- phi ) rho _{s} w _{s} ^{i} )} over {Partial t}]

[eqn: = sum _{alpha =1} ^{3} LEFT [ NABLA ( rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} bold{K} _{alpha } (DELh _{alpha } + {rho _{alpha }} over {rho _{w}} vec{j} ))+ NABLA ( phi S _{alpha } bold{D _{alpha } ^{i}} NABLA ( rho _{alpha } w _{alpha } ^{i} )) RIGHT ]]

[eqn: - NABLA ((1- phi ) rho _{s} w _{s} ^{i} vec{V _{s}} )+ sum _{alpha =1} ^{4} [ theta _{alpha } (I _{alpha } ^{i} +g _{alpha } ^{i} )]]

위 지배식으로부터 지중 각종 유체의 유동 및 오염물의 이동에 대한 각종 지배방정식을 유도할 수 있다. 다음의 <표 1-1>에 이러한 지배식을 나타내었다. <표 1-1>에 나타난 지배식은 기존의 지배방정식과 동일한 형태를 가지고 있다.

<표 1-1> 지하 유체 유동 및 물질 이동의 지배방정식

종류	조정된 계수 값	지배 방정식
포화 지하수 유동	[eqn: S _{w} =k _{rw} =w _{w} ^{w} =1] [eqn: NABLA w _{w} ^{i} =0] [eqn: g _{w} ^{w} (=g _{w} )]	[eqn: S _{ww} {Partial h _{w}} over {Partial t} = NABLA ( bold{K} _{w} ( NABLA h _{w} + vec{j} ))+ {g _{w}} over {rho _{w}}]
불포화 지하수 유동	[eqn: w _{w} ^{w} =w _{a} ^{a} =1,][eqn: NABLA w _{w} ^{i} =0,][eqn: S _{w} +S _{alpha } =1],[eqn: h _{alpha w} =f(S _{w} )]	[eqn: LEFT ( S _{w} S _{ww} + phi {Partial S _{w}} over {Partial h _{w}} + {rho _{a}} over {rho _{w}} S _{a} S _{aw} + phi {rho _{a}} over {rho _{w}} {Partial S _{w}} over {Partial h _{w}} RIGHT ) {Partial h _{w}} over {Partial t}] [eqn: LEFT. = NABLA LEFT ( bold{K} _{w} ( NABLA h _{w} + vec{j} RIGHT ) RIGHT ) + {g _{w}} over {rho _{w}}] [eqn: S _{w} =f(h _{w} ,h _{alpha } )]
불포화 토양내 오염물 이동	[eqn: H _{aw} ^{o} = {w _{a} ^{o}} over {w _{w} ^{o}}] [eqn: H _{aw} ^{o} = {w _{a} ^{o}} over {w _{w} ^{o}}]	[eqn: {Partial } over {Partial t} LEFT ( w _{w} ^{o} ( phi S _{w} rho _{w} + phi S _{a} rho _{a} H _{aw} ^{o} +(1- phi ) rho _{s} H _{sw} ^{o} ) RIGHT )] [eqn: = NABLA ( rho _{w} w _{w} ^{o} bold{K} _{w} (DELh _{w} + vec{j} ))] [eqn: + NABLA ( phi S _{w} bold{D _{w} ^{o}} NABLA ( rho _{w} w _{w} ^{o} ))] [eqn: + NABLA ( phi S _{a} bold{D _{a} ^{o}} NABLA ( rho _{a} H _{aw} ^{o} w _{w} ^{o} ))+g _{w} ^{o} +g _{a} ^{o}]
물상, 유류상, 가스상의 삼상 유동	[eqn: w _{w} ^{w} =w _{w} ^{o} =w _{a} ^{a} =1] [eqn: S _{w} +S _{o} +S _{a} =1]	[eqn: {Partial ( phi S _{w} rho _{w} )} over {Partial t} = NABLA ( rho _{w} bold{K} _{w} ( NABLA h _{w} + vec{j} ))+g _{w}] [eqn: {Partial ( phi S _{o} rho _{o} )} over {Partial t} = NABLA ( rho _{o} bold{K} _{o} ( NABLA h _{o} + {rho _{o}} over {rho _{w}} vec{j} ))+g _{o}] [eqn: {Partial ( phi S _{a} rho _{a} )} over {Partial t} = NABLA ( rho _{w} bold{K} _{a} ( NABLA h _{a} + {rho _{a}} over {rho _{w}} vec{j} ))+g _{a}]
지하 가스 유동 (가스상 복합 유동)	[eqn: S _{g} =1]	가스상 유동 방정식 : [eqn: {phi } over {RT} rho _{w} g {Partial h _{g}} over {Partial t} = NABLA ( rho _{g} bold{K _{g}} NABLA h _{g} )+ NABLA ( rho _{g} bold{K _{g}} ( {rho _{g}} over {rho _{w}} NABLA y))+Q _{g}] 가스상내 복합 물질 이동 방정식 : [eqn: {Partial ( phi C _{g} ^{i} )} over {Partial t} + NABLA ( phi C _{g} ^{i} vec{V _{g}} )= NABLA ( phi bold{D _{g} ^{i}} NABLA (C _{g} ^{i} ))+ phi (k _{g} ^{i} C _{g} ^{i} +S _{g} ^{i} )]
복합 다상 유동	[eqn: H _{ow} ^{o}], [eqn: H _{aw} ^{o}], [eqn: H _{sw} ^{o}] = 분배계수	[eqn: {Partial } over {Partial t} (w _{w} ^{o} ( phi S _{w} rho _{w} + phi S _{o} rho _{o} H _{ow} ^{o} + phi S _{alpha } rho _{alpha } H _{alpha w} ^{o}] [eqn: +(1- phi ) rho _{s} H _{sw} ^{o} ))=-( NABLA ( phi S _{w} rho _{w} w _{w} ^{o} vec{V _{w}} )] [eqn: + NABLA ( phi S _{o} rho _{o} H _{ow} ^{o} w _{w} ^{o} vec{V _{o}} )+ NABLA ( phi S _{alpha } rho _{alpha } H _{alpha w} ^{o} w _{w} ^{o} vec{V _{alpha }} ))] [eqn: + NABLA ( phi S _{w} bold{D _{w} ^{o}} NABLA ( rho _{w} w _{w} ^{o} ))] [eqn: + NABLA ( phi S _{o} bold{D _{o} ^{o}} NABLA ( rho _{o} H _{ow} ^{o} w _{w} ^{o} ))] [eqn: + NABLA ( phi S _{a} bold{D _{a} ^{o}} NABLA ( rho _{a} H _{aw} ^{o} w _{w} ^{o} ))+g _{w} ^{o} +g _{o} ^{o} +g _{a} ^{o}]

<표 1-2> 지하 유체 유동에 관련된 계수의 실험식

파라미터	실험식
상간 압력차와 포화도의 관계	- Brooks and Corey (1964) [eqn: S _{w} ^{e} =(P _{dow} /P _{cow} ) ^{lambda } `for`P _{cow} -P _{dow} >0,][eqn: =1`for`P _{cow} -P _{dow} LEQ 0] [eqn: S _{l} ^{e} =(P _{dgo} /P _{cgo} ) ^{lambda } `for`P _{cgo} -P _{dgo} >0,][eqn: =1`for`P _{cgo} -P _{dgo} LEQ 0] [eqn: S _{g} ^{e} =1-S _{l} ^{e}] - Parker et al. (1987) [eqn: S _{w} ^{e} =(1+( alpha _{ow} h _{ow} ) ^{n} ) ^{-m} `for`h _{ow} >0,][eqn: =1`for`h _{ow} LEQ 0] [eqn: S _{t} ^{e} =(1+( alpha _{ao} h _{ao} ) ^{n} ) ^{-m} `for`h _{ao} >0,][eqn: =1`for`h _{ao} LEQ 0] [eqn: S _{a} ^{e} =(1+( alpha _{aw} h _{aw} ) ^{n} ) ^{-m} `for`h _{aw} >0,][eqn: =1`for`h _{aw} LEQ 0]
상대적 투과도와 포화도의 관계	- Brooks and Corey (1964) [eqn: K _{rw} =(S _{w} ^{e} ) ^{(2+3 lambda )/ lambda }] [eqn: K _{ro} =(S _{l} ^{e} -S _{w} ^{e} ) ^{2} (S _{w} ^{e} -(S _{w} ^{e} ) ^{(2+ lambda )/ lambda } )] [eqn: K _{ra} =(1-S _{w} ^{e} ) ^{2} (1-(S _{w} ^{e} ) ^{(2+ lambda )/ lambda } )] - Parker et al. (1987) [eqn: K _{rw} =(S _{w} ^{e} ) ^{1/2} LEFT { 1- LEFT ( 1-(S _{w} ^{e} ) ^{1/m} RIGHT ) ^{m} RIGHT } ^{2}] [eqn: K _{rw} =(S _{t} ^{e} -S _{w} ^{e} ) ^{1/2} LEFT { 1- LEFT ( 1-(S _{w} ^{e} ) ^{1/m} RIGHT ) ^{m} RIGHT } ^{2}][eqn: (S _{w} ^{e} -(S _{w} ^{e} ) ^{(2+ lambda )/ lambda } )] [eqn: K _{ra} =(1-S _{w} ^{e} ) ^{2} LEFT ( 1-(S _{w} ^{e} ) ^{(2+ lambda )/ lambda } RIGHT )]
확산계수	- Corapcioglu and Baehr (1987) : [eqn: bold{D _{alpha } ^{i}} = bold{d _{alpha }} lambda _{alpha } +D _{m alpha } ^{i} theta _{alpha } bold{xi _{alpha }}] - Kim, 1989, Abriola et al., 1993 [eqn: bold D sub ij,alpha sup i = bold a sub T,alpha sup i |vec V sub alpha | delta sub ij][eqn: +( bold{a _{L, alpha } ^{i}} + bold{a _{alpha ,T} ^{i}} ) {vec{V _{i, alpha }} CDOT vec{V _{j, alpha }}} over {| vec{V _{alpha }} |} +D _{m, alpha } ^{i}]
유류상의 용해계수	- NAPL-물 평형분배식 : [eqn: x _{w} ^{i} = {gamma _{o} ^{i} x _{o} ^{i}} over {gamma _{w} ^{i}}] - 평형 물질 용해 : [eqn: x _{w} ^{i} =x _{w _{s}} ^{i} x _{o} ^{i}] - 비평형 NAPL-물 물질이동 : [eqn: J=k _{f} (C _{w} ^{o} -C _{ow} ^{o} )], [eqn: {Partial w _{w} ^{o}} over {Partial t} =k _{ow} ^{o} (w _{w _{s}} ^{o} -w _{w} ^{o} )]

<표 1-2> 지하 유체 유동에 관련된 계수의 실험식 (계속)

파라미터	실험식
유류상 및 가스상의 휘발계수	- NAPL-물 분배식 : [eqn: w _{a} ^{o} = {P ^{o} M ^{o}} over {rho _{a} RT}] [eqn: w _{a} ^{i} =w _{o} ^{i} {P ^{o} M ^{o}} over {rho _{a} RT}] - 공기 - 물 분배식 : [eqn: w _{a} ^{o} =H _{aw} ^{o} w _{w} ^{o}]
복합물의 흡착계수	- 평형 흡착 : [eqn: w _{s} ^{o} =H _{ws} ^{o} w _{w} ^{o}] - 비평형 흡착 : [eqn: rho _{wi} {Partial w _{wi} ^{o}} over {Partial t} = {k _{wwi} ^{o}} over {phi S _{wi} R _{i}} ( rho _{w} w _{w} ^{o} - rho _{wi} w _{wi} ^{o} )] - van Genuchten : [eqn: {Partial C _{wi} ^{o}} over {Partial t} = {alpha } over {theta _{wi} R _{i}} (C _{w} ^{o} -C _{wi} ^{o} )]
화학반응	- 평형 반응 [eqn: {Partial } over {Partial t} ( theta _{w} C _{wT} ^{j} )= NABLA theta _{w} D _{w} ^{j} NABLA (C _{w} ^{j} +C _{wc} ^{j} )] [eqn: - vec{V _{w}} NABLA (C _{w} ^{j} +C _{wc} ^{j} )+ theta _{w} (g _{w} ^{j} +I _{w} ^{j} +g _{wc} ^{j} +I _{wc} ^{j} )], [eqn: j=1,2,....,N _{a}] [eqn: C _{wT} ^{i} =C _{w} ^{i} + sum _{i=1} ^{M _{x}} a _{ij} ^{x} x _{i}][eqn: + sum _{i=1} ^{M _{y}} a _{ij} ^{y} y _{i} + sum _{i=1} ^{M _{z}} a _{ij} ^{z} z _{i} + sum _{i=1} ^{M _{p}} a _{ij} ^{p} p _{i}] - 흡착 반응 [eqn: {Partial } over {Partial t} ( theta _{s} C _{s} ^{j} )= theta _{s} (g _{s} ^{j} - lambda _{s} ^{j} C _{s} ^{j} )], for [eqn: j=1,2,....,N _{s}] [eqn: C _{s} ^{j} = sum _{i=1} ^{M _{y}} a _{ij} ^{y} y _{i} + sum _{i=1} ^{M _{y}} b _{ij} ^{y} y _{i} + sum _{i=1} ^{M _{z}} a _{ij} ^{z} z _{i}] for [eqn: j=1,2,....,N _{s}]

<표 1-2> 지하 유체 유동에 관련된 계수의 실험식 (계속)

계 수	실험식
화학반응	- 이온교환 [eqn: {Partial } over {Partial t} ( theta _{w} C _{w} ^{!= } )= theta _{w} (g _{w} ^{!= } - lambda _{w} ^{!= } C _{w} ^{!= } )] [eqn: C _{w} ^{neq} = sum _{i=1} ^{M _{z}} v _{i} z] 1) 착화반응 [eqn: A _{i} ^{x} =K _{i} ^{x} prod _{k=1} ^{N _{a}} X _{k} ^{a _{ik} ^{x}}] , [eqn: i=1,2,......,M _{x}] 2) 흡착반응 [eqn: B _{i} ^{y} =K _{i} ^{y} LEFT ( prod _{k=1} ^{N _{alpha }} X _{k} ^{alpha _{ik} ^{y}} RIGHT ) LEFT ( prod _{k=1} ^{N _{s}} Y _{k} ^{b _{ik} ^{y}} RIGHT )] [eqn: i=1,2,......,M _{y}] 3) 침강 및 용해반응 [eqn: 1=K _{i} ^{p} prod _{k=1} ^{N _{a}} X _{k} ^{a _{ik} ^{p}}] [eqn: i=1,2,......,M _{p}] 4) 산화 환원반응 [eqn: C _{e} =C _{e} + sum _{j=1} ^{N _{a}} a _{je} ^{a} c _{j} + sum _{i=1} ^{M _{x}} a _{ie} ^{x} x _{i} ,] [eqn: S _{e} = sum _{j=1} ^{N _{a}} a _{je} ^{S} S _{j} + sum _{i=1} ^{M _{y}} a _{ie} ^{y} y _{i} ,], [eqn: P _{e} = sum _{i=1} ^{M _{p}} a _{ie} ^{p} P _{i}] [eqn: T _{e} =C _{e} + sum _{j=1} ^{N _{a}} a _{je} ^{a} c _{j} + sum _{i=1} ^{M _{x}} a _{ie} ^{x} x _{i} + sum _{j=1} ^{N _{a}} a _{je} ^{a} S _{j}][eqn: + sum _{i=1} ^{M _{y}} a _{ie} ^{y} y _{i} + sum _{i=1} ^{M _{p}} a _{je} ^{p} P _{i}] [eqn: a _{je} ^{a} = sum _{k=1} ^{N _{e}} h _{jk} ^{a} (v _{mk} -v _{jk} ^{a} )] [eqn: j=1,2,...,N _{a}] [eqn: a _{ie} ^{x} = sum _{k=1} ^{N _{e}} h _{ik} ^{x} (v _{mk} -v _{ik} ^{x} )] [eqn: i=1,2,...,M _{x}] [eqn: a _{je} ^{s} = sum _{k=1} ^{N _{e}} h _{jk} ^{s} (v _{mk} -v _{jk} ^{s} )] [eqn: j=1,2,...,N _{s}] [eqn: a _{ie} ^{y} = sum _{k=1} ^{N _{e}} h _{ik} ^{y} (v _{mk} -v _{ik} ^{y} )] [eqn: i=1,2,...,M _{y}] [eqn: a _{ie} ^{p} = sum _{k=1} ^{N _{e}} h _{ik} ^{p} (v _{mk} -v _{ik} ^{p} )] [eqn: i=1,2,...,M _{p}]

<표 1-2> 지하 유체 유동에 관련된 계수의 실험식 (계속)

4. 위의 복합다상시스템의 개념을 이용하여 밀도와 농도의 차이를 설명하라.

Explain the difference between the density and the concentration by using the　concept of the multicomponent multiphase system．

.

<그림 1-1> 복합다상시스템         <그림 1-2> 부피분율과 질량분율

위의 복합 다상 시스템에 대하여 다음과 같이 n 시각, [eqn: alpha] 상내 i 물질에 대한 단위부피당 질량은 다음과 같이 정의된다.

[eqn: m _{alpha } ^{i,n} = {M _{alpha }} over {DELTA x DELTA y DELTA z} = {M _{alpha }} over {U} = {U _{alpha }} over {U} {M _{alpha } ^{i}} over {U _{alpha }} = theta _{alpha } C _{alpha } ^{i} = {U _{alpha }} over {U} {M _{alpha }} over {U _{alpha }} {M _{alpha } ^{i}} over {M _{alpha }} = theta _{alpha } rho _{alpha } w _{alpha } ^{i}]

여기서, i = 각 상내 구성물의 종류를 표시하는 지수

[eqn: alpha] = 물, 유류, 가스, 고형물(토양) 상등을 나타내는 지수

n = 시간공간을 나타내는 지수로서 n 시각을 나타낸다.

질량분율은 다음과 같이 정의된다.

[eqn: w _{alpha } ^{i} = {M _{alpha } ^{i}} over {M _{alpha }} = {alpha 상내i물질의질량} over {alpha 상의질량} = alpha] 상내 i 물질의 질량분율

부피분율은 다음과 같이 정의된다.

[eqn: theta _{alpha } = {U _{alpha }} over {U} = {U _{alpha }} over {U _{v}} {U _{v}} over {U} = phi S _{alpha }] = 각 상의 부피분율

여기서, [eqn: phi] 는 토양의 공극율, [eqn: S _{alpha }] 는 각 상의 포화도이다.

위에서 정의된 표현을 사용하면 각 상별 밀도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: rho sub alpha = { M sub alpha } over { U sub alpha }]

각 상별 정의된 농도는 다음과 같다.

[eqn: C _{alpha } ^{i} = {M _{alpha } ^{i}} over {U _{alpha }} = {M _{alpha } ^{i}} over {M _{alpha }} {M _{alpha }} over {U _{alpha }} = rho _{alpha } w _{alpha } ^{i}]= [eqn: alpha] 상내 i 물질의 농도

전체 검사체적 즉 총 상의 부피에 대하여 정의된 농도는 다음과 같다.

[eqn: C^{i} = {M _{alpha } sup i } over {U}} = { M_alpha sup i } over {U sub alpha } {U_alpha} over {U} = theta sub alpha rho sub alpha w sub alpha ^ i]= 전체 상에 대한 i 물질의 농도

5. 위의 복합다상시스템의 개념을 이용하여 이류유송과 분산이동을 서술하라.

Explain the concept of flux and the mathematical notation of advective flux and dispersive flux by using the　concept of the multicomponent multiphase system.

플럭스는 물질의 이동속도를 의미하며 보통 물질의 유속 * 물질의 단위부피당 질량으로 나타낸다. 따라서, 밀도는 상의 플럭스이며 농도는 물질의 플럭스이다. 다중다상시스템의 표현을 사용하면 다음과 같이 정확하게 플럭스를 표현할 수 있다.

다중다상시스템에 있어서 물질의 이동은 다음과 같이 물질의 입자(미시적) 유속에 의해서 이동된다. 이러한 물질의 미시적 유속은 측정할 수 없으므로 다음과 같이 물상의 유속과 수리학적 분산계수로서 표현된다. 즉, 물질의 이동은 물상의 유속(거시적 유속)에 의한 이류유송(Advective Flux)와 수리학적 분산계수에 의한 분산이동(Dispersive Flux)로 표현된다.

[eqn: C _{alpha } ^{i} {vec{V _{alpha } ^{i}}} & =C _{alpha } ^{i} {vec{V _{alpha } ^{i}}} +C _{alpha } ^{i} ( {vec{V _{alpha } ^{i}}} - {vec{V _{alpha }}} )=C _{alpha } ^{i} {vec{V _{alpha }}} - {bold{D _{h, alpha } ^{i}}} NABLA C _{alpha } ^{i}]

여기서,

[eqn: {vec{V _{alpha } ^{i}}}] = microscopic velocity of species [eqn: i] in [eqn: alpha] phase

([eqn: alpha] 상내 [eqn: i] 물질의 미시적 유속),

[eqn: {vec{V _{alpha }}}] = macroscopic velocity of [eqn: alpha] phase ([eqn: alpha] 상의 거시적 유속),

[eqn: {bold{D _{h, alpha } ^{i}}}] = hydrodynamic dispersive coefficient of species [eqn: i] in [eqn: alpha] phase

([eqn: alpha] 상내 [eqn: i] 물질의 수리학적 분산 계수)

분산이동은 농도 차이에 의한 확산현상을 고려하기 위하여 다음과 같이 분자확산계수(Molecular Diffusion Coefficient)를 수리학적 분산계수에 더해주어 분산계수를 정의한다.

[eqn: {bold{D _{alpha } ^{i}}} = {bold{D _{h, alpha } ^{i}}} +D _{m, alpha } ^{i}]

[eqn: {bold{D _{alpha } ^{i}}}] = dispersive coefficient of species [eqn: i] in [eqn: alpha] phase ([eqn: alpha] 상내 [eqn: i] 물질의 분산 계수)

[eqn: D _{m, alpha } ^{i}] = molecular diffusive coefficient of species [eqn: i] in [eqn: alpha] phase

([eqn: alpha] 상내 [eqn: i] 물질의 분자 확산 계수)

6. QUAL2E 모형과 Network 모형에 대하여 다음의 질문에 답하라.

Answer the problems such as follows for the QUAL2E and Network model.

1) 본 모형의 지배방정식인 물질이동식을 설명하라.

Explain the mass transport equation which is the governing equation of this model.

하천에서의 물질이동 및 변환은 유체의 흐름에 의하여 농도 부하가 이동되는 유속에 의한 유송(이류유송)과 유체흐름의 난류성(Hydrodynamic Dispersion : 수리학적 분산)과 물질 농도 차이(Molecular Diffusion : 분자분산)에 의해 발생하는 확산, 화학 및 생물학적 반응(Biochemical Reaction)에 의한 물질의 증감, 시스템 내의 오염 부하량 유입 또는 유출(Source or Sinks)에 의한 부하의 증감에 의해 좌우된다. 이와 같은 과정을 수학적으로 표현하기 위하여 물질평형 관계를 고려하여 물질이동방정식을 유도하면 다음과 같다.

(1) 삼차원 물질이동식

x 방향의 물리학적 이동 기작 :

[eqn: LEFT [ LEFT { (uC)- LEFT ( D _{x} {Partial C} over {Partial x} RIGHT ) RIGHT } _{x} - LEFT { (uC)- LEFT ( D _{x} {Partial C} over {Partial x} RIGHT ) RIGHT } _{x+ DELTA x} RIGHT ] TRIANGLE y TRIANGLE z]

y 방향의 물리학적 이동 기작 :

[eqn: LEFT [ left {(vC) - LEFT ( D_y {Partial C} over {Partial y} RIGHT ) right } _ y - left {(vC) - LEFT ( D_y {Partial C} over {Partial y} RIGHT ) right } _ { y + Delta y} RIGHT ] TRIANGLE x TRIANGLE z]

z 방향의 물리학적 이동 기작 :

[eqn: LEFT [ left {(wC) - LEFT ( D_z {Partial C} over {Partial z} RIGHT ) right } _ z - left {(wC) - LEFT ( D_z {Partial C} over {Partial z} RIGHT ) right } _ { z + Delta z} RIGHT ] TRIANGLE x TRIANGLE y]

검사체적내의 생화학적 반응 : [eqn: (kC) TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z], kC는 단위부피당 생화학적 반응속도임.

검사체적내로 직접 부하원 : [eqn: S TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z], S는 단위부피당 직접 부하원임.

검사체적내에서의 시간에 대한 증가분 : [eqn: {TRIANGLE C} over {TRIANGLE t} TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z]

미분식을 구하기 위하여 [eqn: TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z] 나눈후, [eqn: TRIANGLE x,` TRIANGLE y,` TRIANGLE z` -> 0]으로 접근하면

다음의 3차원 물질이동식을 구할 수 있다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = NABLA ( bold D` NABLA C)- NABLA ( vec{V} C)+kC+S]

(2) 일차원 물질이동식

QUAL2 모형의 지배방정식인 일차원 물질이동식은 위의 3차원 물질이동식중 x 방향의 성분만 고려하여 식을 다음과 같이 유도한다.

일차원 유동방향에 대한 수직단면적과 검사체적의 부피는 다음과 같다.

[eqn: A _{x} = TRIANGLE y TRIANGLE z]	[eqn: V= TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z]

3차원 물질이동식을 1차원 물질이동식으로 정리하면 다음과 같다.

[eqn: {TRIANGLE C} over {TRIANGLE t} V= TRIANGLE LEFT ( DA _{x} {TRIANGLE C} over {TRIANGLE x} RIGHT ) - TRIANGLE LEFT ( uC RIGHT ) A _{x} +kCV+SV]

위의 식을 [eqn: V= TRIANGLE x TRIANGLE y TRIANGLE z]으로 나누어 준 후, [eqn: TRIANGLE x,` TRIANGLE y,` TRIANGLE z` -> 0]로 놓으면

다음과 같은 1차원 물질이동식을 얻을 수 있다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = {Partial LEFT ( DA _{x} {Partial C} over {Partial x} RIGHT )} over {A _{x} Partial x} - {A _{x} Partial LEFT ( uC RIGHT )} over {A _{x} Partial x} +kC+S]

위의 식은 다음과 같은 일반적인 1차원 물질이동식에 수직단면적을 고려한 식이다. 즉, 수직단면적의 변화(수심 및 폭의 변화)을 고려하기 위하여 우측항의 분모와 분자에 단면적을 곱하고 나누어 준 것이다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = {Partial over { Partial x} LEFT ( D {Partial C} over {Partial x} RIGHT )} - {Partial (uC)} over { Partial x} + kC + {S}]

QUAL2E Manual에서 제시하고 있는 일차원 물질이동식은 다음과 같다.

[eqn: {Partial C} over {Partial t} = {Partial LEFT ( A _{x} D {Partial C} over {Partial x} RIGHT )} over {A _{x} Partial x} - {Partial (A _{x} uC)} over {A _{x} Partial x} + R over V + {S} over {V}]

여기서, R는 검사체적 전체부피에 대한 반응속도, S는 검사체적 전체 부피에 대한 부하원을 나타낸다.

(3) 열전달방정식

QUAL2E는 에너지 보전의 원리를 이용하며 열전달을 고려한 에너지 방정식을 이용하여 수온을 계산한다. 지배방정식은 다음 식과 같으며 물질 이동 방정식과 흡사한 형태를 가진다.

[eqn: {Partial T} over {Partial t} = {Partial LEFT ( AD {Partial T} over {Partial x} RIGHT )} over {A Partial x} - {Partial (AUT)} over {A Partial x} ± {1} over {rho c} + {S} over {V}]

여기서, T는 수온이고, [eqn: rho]는 물의 밀도, c는 비열이다.

2) 본 모형에서는 유량 및 단면 등의 수리 현상을 어떻게 해석하고 있는가?

How does this model evaluate the hydraulic process such flow rate and cross sectional area.

QUAL2E 모형은 하천의 수리학적 흐름 상태를 정상류로 가정하며, 하천의 유량변화에 따른 유속과 수심 또는 단면적계산은 유량계수법과 유로단면이용법(Manning의 공식) 중에서 선택하여 사용할 수 있도록 되어 있다.

- 유량계수법

이 방법은 수리 모형을 수행하거나 또는 실측 자료를 이용하여 각 지점별로 유속과 유량을 산정하고, 동일 대 구간 내에서의 유량과 유속, 유량과 수심과의 관계를 회귀분석법에 의하여 구하거나, 유로단면이 구형이고, 단면곡선(Rating Curve)이 있는 경우에 계산하는 방법으로 다음 식과 같이 표시할 수 있다.

유속 : [eqn: U=aQ ^{b}], 단면적 : [eqn: A _{x} =Q/(U)],  수심 : [eqn: H= alpha Q ^{beta }]

여기서, U는 평균 유속, Q는 유량, H는 수심, a, b, [eqn: alpha], [eqn: beta]는 경험상수로 수위-유량곡선으로부터 산출하거나 DYNHYD5, HEC-2, HEC-RAS와 같은 부등류 수리 모형을 이용하여 여러 가지 유량조건에 따른 각 하천구간별 유속과 수심을 계산한 후 결과에 대한 회귀분석을 통해 계수 값들을 산정할 수 있다.

- 유로 단면 이용법

유로 단면이 정비되어 구형이나 사다리꼴의 형태로 되어 있는 경우에는 Manning식을 이용하여 다음 식과 같이 해석한다.

[eqn: Q= LEFT ( {1.486} over {n} RIGHT ) R ^{2/3} AS ^{1/2}]

여기서, n는 Manning의 조도 계수이고, S는 에너지구배, R은 평균 동수반경, A는 유로 단면적을 나타낸다.

- 종 확산계수

Elder(1959)는 다음과 같은 종확산계수(E) 산정식을 제시하였다.

[eqn: E = K`d`u^*]

여기서, K는 확산상수, [eqn: u ^{*} =C sqrt {RS}]는 평균 마찰속도, C는 Chezy의 상수 [eqn: C= {R ^{1/6}} over {n}],  R = A/P, [eqn: S]는 에너지 경사도이다.

Manning의 식으로부터 에너지경사도를 유도하여 대입하여 정리하면 다음과 같은 식이 유도된다.

[eqn: S= LEFT ( {Un} over {1.486n``R ^{2/3}} RIGHT ) ^{2}],  [eqn: E=3.11`K`n` {bar{U}} ``d ^{5/6}]

여기서, E는 하천의 종확산계수(㎡/s), U는 평균유속(m/s), H는 평균수심(m), K는 확산상수(무차원)이다.

3) 모형의 수치해석기법을 설명하라. (후방유한차분법)

Describe the numerical method of this model(Backward Finite Difference Method)

본 모형의 물질이동식은 반응식을 일차반응항과 내부발생원으로 분류하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: {PARTIAL C} over {PARTIAL t} = {Partial LEFT ( A _{x} `E` {Partial `C} over {Partial `x} RIGHT )} over {A _{x} `` Partial `x} `-~ {Partial LEFT ( A _{x} `U`C RIGHT )} over {A _{x} `` Partial `x} `+~rc~+~p`+~ {S} over {V} `]

여기서, 반응항은 [eqn: {dC} over {dt} =rC`+`p] 로 두 가지로 분리되어 표현된다. 첫 번째 항은 농도에 비례하는 1차 반응을 나타내며, 두 번째 항은 내부 발생 또는 제거로서, 저니층 부하, 조류성장에 따른 영양염류 손실 등이 해당한다.

본 모형의 일차원 격자망은 다음과 같다. 시간영역에 대해서는 n를 공간영역에 대해서는 [eqn: i]라는 표기를 사용하여 다음과 같이 유한차분 알고리즘을 유도할 수 있다.

Flow ➜

	●	●	●
	요소 i-1	요소 i	요소 i+1

[eqn: n+1~:`t+ {△t} over {2}]

[eqn: n~~`:`t- {△t} over {2}]

QUAL2E 모형의 수치해석 알고리즘의 계산 격자망

(1) 후방차분법을 이용한 지배방정식의 이산화

후방유한차분법을 적용하여 다음과 같이 모든 공간 편미분항은 후방차분되고, 시간편미분항은 전방차분된다.

1단계: 이송과 확산항을 x에 대해 한번 후방차분하면 다음과 같다 (반응항과 근원항은 도함수가 없으므로 불변).

[eqn: {Partial C _{i}} over {Partial t} = {-(AE {Partial C} over {Partial x} ) _{i-1} +(AE {Partial C} over {Partial x} ) _{i}} over {V _{i}} + {(AUC) _{i-1} -(AUC) _{i}} over {V _{i}}]

여기서, [eqn: V_i = A_i`` TRIANGLE x_i]

2단계: 일차 공간도함수에 후방차분법을 적용하여 이산화한다.

[eqn: { PARTIAL C_i} over { PARTIAL t } = {{( AE) (C_i+1 - C_i )} over {V_i △x_i}} + {{( AE) (C_i-1 - C_i )} over {V_i △x_i}}+ {{ Q_i-1 C_i-1 -Q_i C_i} over {V_i} }]

3단계: 시간 편미분항을 전방차분한다 (비정상상태의 유한차분).

[eqn: {C _{i} ^{n+1} -C _{i} ^{n}} over {TRIANGLE t} = {(AE) _{i,i+1(} C _{i+1} ^{n+1} -C _{i} ^{n+1} )} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {(AE) _{i-1,i} (C _{i-1} ^{n+1} -C _{i} ^{n+1} )} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}}]

[eqn: + {(Q _{i-1} C _{i-1} ^{n+1} -Q _{i} C _{i} ^{n+1} )} over {V _{i}} +r _{i} ``C _{i} ^{n+1} +P _{i} + {S _{i}} over {V _{i}} ``]

위의 식을 주변수인 수질농도에 대하여 다음과 같이 정리한다.

[eqn: a _{i} C` _{i-1} ^{n+1} +b _{i} C` _{i} ^{n+1} +c _{i} C` _{i+1} ^{n+1} =Z _{i} `]

[eqn: a _{i} =-[(AE) _{i-1} {TRIANGLE t} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{i-1} TRIANGLE t} over {V _{i}} ]]

[eqn: b _{i} =1.0+[(AE) _{i-1} +(AE) _{i} ] {TRIANGLE t} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{i} TRIANGLE t} over {V _{i}} -r _{i} TRIANGLE t``]

[eqn: c _{i} =-[(AE) _{i} {TRIANGLE t} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} ]]

[eqn: Z _{i} =C _{i} ^{n} + {s _{i} TRIANGLE t} over {V _{i}} +p _{i} TRIANGLE t``]

미지수는 좌항에 있는 3개의 수질농도 값이고, 나머지는 모두 기지의 값들이다. 정상상태에서는  [eqn: {Partial C _{i}} over {Partial t} =0] 이므로

[eqn: a _{i} C` _{i-1} ^{n+1} +b _{i} C` _{i} ^{n+1} +c _{i} C` _{i+1} ^{n+1} =Z _{i} `]

[eqn: a _{i} =-[ {(AE) _{i-1}} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{i-1}} over {V _{i}} ]]

[eqn: b _{i} =[ {(AE) _{i}} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {(AE) _{i-1}} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{i}} over {V _{i}} -r _{i} ]``]

[eqn: c_i =- [{(AE)_i} over {V_i TRIANGLE x_i }]]

[eqn: Z _{i} = {s _{i}} over {V _{i}} +p _{i} ``]

지류가 유입되는 요소에서는 다음과 같은 [eqn: d _{j}]항을 더해 주어야 한다.

[eqn: a _{i} C` _{i-1} ^{n+1} +b _{i} C` _{i} ^{n+1} +c _{i} C` _{i+1} ^{n+1} +d _{j} C` _{j} ^{n+1} =Z _{i} `]

여기서, [eqn: d _{j} =-[(AE) _{j} {TRIANGLE t} over {V _{i} TRIANGLE x _{i}} + {Q _{j} TRIANGLE t} over {V _{i}} ]``], j 는 합쳐지는 지류의 요소를 나타내며, [eqn: C` _{j} ^{n+1}] 는 n+1 시간에서 요소 j에서의 수질농도 값이다.

(2) 가우스소거법을 이용한 최종연립방정식의 해석

이산화된 차분식을 전체 절점에 대하여 합쳐주면 다음과 같은 연립방정식의 행렬이 구성되며, 이러한 행렬은 이산화된 차분식에서의 격자점이 서로 인접한 격자점만 포함하기 때문에 다음과 같은 삼대각행렬을 구성하게 된다.

[eqn: bmatrix{b _{1}&c _{1}&&&&&&#a _{2}&b _{2}&c _{2}&&&&&#&a _{3}&b _{3}&c _{3}&&&&#&&.&.&.&&&#&&&a _{i}&b _{i}&c _{i}&&#&&&&.&.&.&#&&&&&a _{I-1}&b _{I-1}&c _{I-1}#&&&&&&a _{I}&b _{I}} TIMES][eqn: bmatrix{C` _{1} ^{n+1}#C` _{2} ^{n+1}#C` _{3} ^{n+1}#.#C` _{i} ^{n+1}#.#C` _{I-1} ^{n+1}#C` _{I} ^{n+1}}]=[eqn: bmatrix{Z _{1}#Z _{2}#Z _{3}#.#Z _{i}#.#Z _{I-1}#Z _{I}}]

위의 삼대각 행렬식에 가우스 소거법을 적용하면 다음과 같다.

- 전방 소거 (Forward Elimination)

1행 [eqn: b _{1} C` _{1} ^{n+1} +c _{1} C` _{2} ^{n+1} =Z _{1}]에서 양변을 b1으로 나누면

[eqn: C` _{1} ^{n+1} +W _{1} C` _{2} ^{n+1} =G _{1}]

여기서,[eqn: W _{1} = {c _{1}} over {b _{1}} ,~~G _{1} = {Z _{1}} over {b _{1}}]

2행 [eqn: a _{2} C` _{1} ^{n+1} +b _{2} C` _{2} ^{n+1} +c _{2} C` _{3} ^{n+1} =Z _{2}]

2행의 [eqn: a sub 2]를 소거하기 위하여 1행에 [eqn: a sub 2]를 곱하여 빼준다.

[eqn: a _{2} C` _{1} ^{n+1} +a _{2} C` _{1} ^{n+1} +b _{2} C` _{2} ^{n+1} +c _{2} C` _{3} ^{n+1} =Z _{1}# # a _{2} C` _{1} ^{n+1} +a _{2} W _{1} C` _{2} ^{n+1} ~~~~~~~~~~~~~~~`=a _{2} G _{1}# ----------------------]

[eqn: (b _{2} -a _{2} W _{1} )C` _{2} ^{n+1} +c _{2} C` _{3} ^{n+1} =Z _{2} -a _{2} G _{1}]

[eqn: C _{2} ^{n+1} +W _{2} C _{3} ^{n+1} =G _{2}]

여기서, [eqn: W _{2} = {c _{2}} over {b _{2} -a _{2} W _{1}} ,~~G _{2} = {Z _{2} -a _{2} G _{1}} over {b _{2} -a _{2} W _{1}}]

같은 방법을  i 행에 대하여 적용하면 다음과 같다.

[eqn: C` _{i} ^{n+1} +W _{i} C` _{i+1} ^{n+1} =G _{i}]

여기서, [eqn: W _{i} = {c _{i}} over {b _{i} -a _{i} W _{i-1}} ,~~G _{i} = {Z _{i} -a _{i} G _{i-1}} over {b _{i} -a _{i} W _{i-1}}]

- 후방 치환 (Backward Substitution)

마지막 행에 대한 해는[eqn: C` _{I} ^{n+1} =G _{I} `] 이므로 이 값을 이용하여 후방치환하여 [eqn: C` _{I-1} ^{n+1} ,C` _{I-2} ^{n+1} ,....]를 구한다.

[eqn: C` _{i} ^{n+1} =G _{i} -W _{i} C` _{i+1} ^{n-1} ,~~for~~i=I-1,...,1]

(3) 경계조건

- 상류경계조건 (Upstream Boundary Condition)

최상류에서는 최상부 격자(Headwater Elements)의 수질농도가 Co로 입력되기 때문에 수치해석상 제1경계 조건이 되어 다음의 알고리즘을 사용한다.

[eqn: Z_1 = C_1 ^n + { s_1 TRIANGLE t} over {V_1 } + p_1 TRIANGLE t - a_1 C_o``]

- 하류경계조건 (Downstream Boundary Condition)

하류 경계조건은 최종 격자에서 다음과 같이 기지의 농도의 경사도(플럭스)나 농도값을 사용한다.

Option 1: 농도의 구배도가 0임 (Zero Gradient Assumption)

하천 마지막구간의 최하단 요소 I에서 [eqn: C_I+1]은 [eqn: C_I-1]로 대체된다.

[eqn: a_i =- [((AE)_I-1 +(AE)_I ) { TRIANGLE t} over {V_i TRIANGLE x_i } + { Q_i-1 TRIANGLE t} over {V_i }]]

Option 2: 고정된 농도 값 (Fixed Concentration)

시스템의 마지막 요소에 고정된 농도값을 사용한다.

[eqn: C _{I+1} =C _{LB}]

[eqn: Z _{I} =C _{I} ^{n} + {s _{I} TRIANGLE t} over {V _{I}} +p _{I} TRIANGLE t-c _{I} C _{LB} ``]

4) 본 모형의 수질 모델링 항목들간의 변환 및 상호 관계는 다음의 그림으로 나타낼 수 있다. 이러한 변환 및 반응들을 구체적으로 설명하고, 반응속도식 및 반응속도상수를 설명하라.

The transformation and biochemical reactions between the water quality variables of QUAL2E can be expressed as shown in below figure. Explain in detail about the transformation and reaction mechanism, and reaction kinetics and reaction constants.

■ 생화학적 반응의 평가

예측 가능한 수질 항목으로는 DO, BOD, Algae, Organic-N, NO2-N, NO3-N, Organic-P, Dissolved-P, 온도, 대장균, 3개의 보전성 물질, 1개의 임의의 비보존성 물질 등 13개 항목이며, 항목간의 상호 관계는 다음 그림에 나타나 있다.

Dissolved Oxygen (DO):	용존산소

Biochemical Oxygen Demand (BOD):	생화학적 산소요구량

Temperature:	온도

Algae as a Chlorophyll a:	조류 (엽록소로 표시)

Organic Nitrogen as N:	유기질소 (as N)

Ammonia as N (NH3-N):	암모니아 (as N)

Nitrite as N(NO2--N):	아질산성 질소

Nitrate as N(NO3-N):	질산성 질소

Organic Phosphorus as P:	유기인 (as P)

Dissolved Phosphorus as P:	용존인 (as P)

Coliforms:	대장균

Arbitrary Nonconservative Constituent:	임의의 비보존성 물질

Three Conservative Constituents:	3개의 보존성 물질

(1) 조류

조류의 성장에 의한 증가, 사멸 및 침전에 의한 감소를 고려하여 다음의 식으로 표현할 수 있다.

[eqn: Chl.`a= alpha _{0} A]

[eqn: {dA} over {dt} `=~ mu A~-~ rho A`-~ {sigma _{1}} over {d} A# 증가~~성장~```사멸~~~침전`]

여기서,

Chl. a = 엽록소 농도

A = 조류농도

[eqn: alpha _{0}] = Conversion factor,  ug Chl. a/mg A (엽록소와 조류 농도의 변환 계수)

[eqn: mu] = Specific growth rate of algae (조류의 비성장률)

[eqn: rho] = Respiration rate of algae (사멸율)

[eqn: sigma _{1}] =  Settling rate for algae (침전율)

d = 평균수심

조류의 성장율은 다음과 같이 선택적으로 평가된다.

Option 1. 곱(Multiplicative) : [eqn: mu = mu _{max} (FL)(FN)(FP)]

Option 2. 제한영양원(Limiting Nutrient) : [eqn: mu = mu _{max} (FL)``Min(FN,``FP)]

Option 3. 조화평균(Harmonic Mean) : [eqn: mu = mu _{max} (FL) LEFT [ {2} over {1/FN+1/FP} RIGHT ]]

여기서,

[eqn: mu _{max}] = Maximum specific algal growth rate (최대성장율)

FL = Algal growth limitation factor for light (빛제한요소)

FN = Algal growth limitation factor for nitrogen (질소제한요소)

FP = Algal growth limitation factor for phosphorus (인제한요소)

(2) 유기질소(Organic Nitrogen: Org-N)

유기질소는 조류의 사멸에 의한 유기질소 증가, 유기질소의 가수분해등을 고려하여 다음의 식으로 나타낸다.

[eqn: {dN _{4}} over {dt} `=` alpha _{1} rho A~-~ beta _{3} N _{4~} -` sigma _{4} N _{4}# 증가~~사멸~~~가수분해~침전`]

여기서,

[eqn: N _{4}] = Concentration of Organic Nitrogen, mg-N/L (유기질소농도)

[eqn: beta _{3}] = Hydrolysis rate of Org. N to NH3-N, /day (가수분해율)

[eqn: alpha _{1}] = Fraction of algal biomass that is N,  mg-N/mg-A (조류내의 질소 함유율)

[eqn: sigma _{4}] =  Settling rate for Org. N (유기질소의 침전율)

(3) 암모니아성 질소 (Ammonia Nitrogen : NH3-N, N1)

암모니아성 질소는 유기질소의 가수분해에 의한 증가, 암모니아성 질소의 산화에 의한 감소, 하상퇴적물로부터의 부상에 의한 증가, 조류의 섭취에 의한 감소를 고려하여 다음의 식으로 나타낸다.

[eqn: {dN _{1}} over {dt} `=~ beta _{3} N _{4~} -~ beta _{1} N _{1~} +~ sigma _{3} /H~-~F _{1} alpha _{1} mu A# 증가~~가수분해~~~질산화~~~~침전~~~성장~~~~]

여기서,

[eqn: N _1] = Concentration of Ammonia Nitrogen, mg-N/L (암모니아성 질소의 농도)

β1 = Oxidation rate of NH3-N to NO2-N, /day (아질산화율)

σ3 = Benthos source rate for NH3-N, mg-N/ft2-day (하상부상율)

H = water depth (수심)

F1 = Fraction of algal N uptake from ammonia pool (조류의 섭취율)

[eqn: F _{1} = {P _{N} N _{1}} over {P _{N} N _{1} +(1-P _{N} )N _{3}}]

PN = Preference factor for ammonia nitrogen (0 to 1.0) (조류의 선호도)

(4) 아질산성 질소 (Nitrite Nitrogen : N2)

아질산성 질소는 암모니아성 질소의 산화에 의해 증가하고, 아질산의 산화에 의해 감소한다.

[eqn: {dN _{2}} over {dt} `=~ beta _{1} N _{1} `-~ beta _{2} N _{2}# 축적~~~질산화~~질산화]

여기서,

[eqn: N _{2}] = Concentration of Nitrite Nitrogen, mg-N/L (아질산성 질소의 농도)

β1 = Oxidation rate of NH3-N to NO2-N, /day (암모니아의 산화율)

β2 = Oxidation rate of NO2-N to NO3-N, /day (아질산성 질소의 산화율)

(5) 질산성 질소 (Nitrate Nitrogen, N3)

질산성 질소는 아질산의 산화에 의해 증가하고, 조류의 섭취에 의해 감소한다.

[eqn: {dN _{3}} over {dt} = beta _{2} N _{2} -(1-F _{2} ) alpha _{1} mu A# 축적~~~~질산화~~~성장~~~~~~]

여기서, F2는 조류의 질산성 질소의 섭취율이다..

(6) 유기인 (Organic Phosphorus : P1)

유기인은 조류의 사멸에 의해 증가하고, 용존인으로 변화함으로써 감소하며, 침전에 의해 감소한다.

[eqn: {dP _{1}} over {dt} `=~ alpha _{2} rho A`-~ beta _{4} P _{1} `-~ sigma _{5} P _{1}# 축적~~~호흡~~`무기인화~~~침전]

여기서,

[eqn: P _{1}] = Concentration of Organic Phosphorus, mg-P/L (유기인의 농도)

α2 = Fraction of algal biomass that is P,  mg-P/mg-A (조류내의 인함유율)

β4 = Organic P decay rate, /day (유기인의 용존인으로의 변환율)

σ5 =  Settling rate for Org. P (유기인의 침전율)

(7) 용존인 (Dissolved Phosphorus : P2)

용존인은 유기인으로부터 변화에 의해 증가하며, 하상퇴적물로부터 부상에 의해 증가하고, 조류의 섭취에 의해 감소한다.

[eqn: {dP _{2}} over {dt} `=~ beta _{4} P _{1~} +~ sigma _{2} /d`-~ alpha _{2} mu A# 축적~~~호기성분해~~~침전~~~성장~~]

여기서,

[eqn: P _{2}] = Concentration of inorganic or dissolved P, mg-P/L (용존인의 농도)

σ2 = Benthos source rate for dissolved P, mg-P/ft2-day (용존인의 부상율)

d = Mean stream depth (평균수심)

α2 = Fraction of algal biomass that is P,  mg-P/mg-A (조류의 인함유율)

μ = Specific growth rate of algae (조류의 성장률)

β4 = Organic P decay rate, /day (유기인의 분해율 : 무기인화율)

(8) 탄소성 생물학적 산소 요구량 (CBOD : L)

CBOD는 탈산소 및 침전에 의해 감소한다.

[eqn: {dL} over {dt} `=~-K _{1} L~-~K _{3} L# 축적~~~호기성분해~~~침전]

여기서,

L = the concentration of ultimate carbonaceous BOD, mg/L (CBOD의 농도)

K1 = deoxygenation rate coefficient, temperature dependent, /d (탄산소율)

K3 = the rate of loss of CBOD due to settling, /d (침전율)

QUAL2E 모형은 일반적으로 최종 BOD인 BODU를 계산하지만, 사용자가 5일 BOD인 BOD5를 사용하고자 할때에는 입력자료에서 지정을 해야 하며, 모형은 내부적으로 다음 식으로 변환된다.

[eqn: BOD _{5} =BOD _{u} (1.0-exp(-5 TIMES KBOD))]

(9) 용존산소 (O)

용존산소는 재폭기 및 조류의 광합성에 의해 증가하고, 탈산소, 하상퇴적물, 암모니아성 질소 및 아질산의 산화에 의해 감소한다.

[eqn: {dO} over {dt} =K _{2} (O _{s} -O)-K _{1} L-K _{4} /H+( alpha _{3} mu - alpha _{4} rho )A- alpha _{5} beta _{1} N _{1} - alpha _{6} beta _{2} N _{2}# 축적~~~재폭기~~~~~분해~~~SOD~~~성장-호흡~~~~~~~~질산화~~]

여기서, O는 용존산소의 농도이고, [eqn: O_s]는 주어진 온도 및 압력하의 포화산소농도이며, α3는 조류의 광합성에 의한 산소생산량이고, α4는 조류의 호흡에 의한 산소 감소율이며, α5는 암모니아성 질소의 산화에 따른 산소소모율이며, α6는 아질산의 산화에 따른 산소소모율이며, K4는 하상퇴적물에 의한 산소감소율, β2는 아질산의 산화율, β1는 암모니아 산화율을 나타낸다.

용존산소 포화농도(Os)는 수온에 반비례, 용존부유물 농도 또는 염도에 반비례, 기압에 비례하며 아래와 같은 관계가 있다.

o 온도의 영향 : 평균해수면에서 온도에 따른 DO 포화농도는 다음과 같다.

[eqn: lnO _{s} =-139.34410+ {1.575701 TIMES 10 ^{5}} over {Ta} - {6.642308 TIMES 10 ^{7}} over {Ta ^{2}}# + {1.243800 TIMES 10 ^{10}} over {Ta ^{3}} - {8.621949 TIMES 10 ^{11}} over {Ta ^{4}}]

여기서,

Ta(oK) = T(oC) + 273.15

o 압력의 영향

[eqn: O _{p} =O _{S} TIMES P[ {(1- {p _{wv}} over {p} )(1- phi P)} over {(1-p _{wv} )(1- phi )} ]]

여기서,

Op = 다른 기압에서 포화 용존산소 농도

Os = 1기압(atm)에서의 포화용존산소 농도

P = 압력 (atm)

Pwv = 수증기의 부분압 (atm)

[eqn: phi =0.000975-(1.426 TIMES 10 ^{-5} t)+(6.436 TIMES 10 ^{-8} t ^{2} )]

[eqn: lnP _{wv} =11.8571-(3840.70/T)-216961/T ^{2}]

t = 기온. oC

용존산소의 폭기계수(K2)는 일반적으로 수심과 유속의 함수로 나타내며,     QUAL2E 모형에서는 다음과 같이 8개의 Option으로 제공된다.

K2 Option 1 : 직접 사용자 입력. 하천구간 얼음생성과 같은 비정상적 조건에 유리

K2 Option 2 (Churchill, Elmore, and Buckingham, 1962)

[eqn: K _{2} ^{20} =5.026U ^{0.969} H ^{-1.673}]

K2 Option 3 (O'Conner and Dobbins, 1958) : 가장 많이 사용

[eqn: K _{2} ^{20} =3.93U ^{0.5} H ^{-1.5}]  (간략식)

K2 Option 4 (Owens et al. 1964) : 얕고 빠른 흐름의 하천

[eqn: K _{2} ^{20} =9.4U ^{0.67} TIMES H ^{-1.85}]

K2 Option 5 (Thacston and Krenkel, 1966) : TVA 하천

[eqn: K _{2} ^{20} =10.8(1+F ^{0.5} ) {u ^{*}} over {h}]

F = Froude number, [eqn: F= {U ^{*}} over {sqrt {gH}}], 전단속도 [eqn: U ^{*} = sqrt {gHS _{e}}]

K2 Option 6 (Langbien and Durum, 1967)

[eqn: K _{2} ^{20} =3.3U TIMES H ^{-1.33}]

K2 Option 7 : 유량과의 멱함수로 표현

[eqn: K _{2} =aQ ^{b}]

K2 Option 8 (Tsivoglou and Wallace, 1972)

[eqn: K _{2} ^{20} =(3600 TIMES 24)cS _{e} U]

c = escape coefficient

댐에서 재포기가 있는 경우에는 다음과 같은 식을 사용한다.(Butts and Evans, 1983)

[eqn: D _{a} -D _{b} = LEFT [ 1- {1} over {1+0.116abH(1-0.034H)(1+0.46T)} RIGHT ] D _{a}]

여기서,

Da, Db = 각각 댐 상류와 하류에서의 DO 결핍량

a, b = 각각 수질오염상태와 댐 형식에 따른 계수

(10) 대장균

대장균은 사멸에 의한 감소가 주 원인이다.

[eqn: {dE} over {dt} =-K _{5} E]

여기서, E는 대장균의 농도이고, K5는 대장균의 사멸율을 나타낸다.

(11) 임의의 비보존성 물질

임의의 비보존성 물질은 쇠퇴 및 침전에 의한 감소, 하상퇴적물로부터 부상에 의한 증가가 있다.

[eqn: {dR} over {dt} =-K _{5} - sigma _{6} R+ {sigma _{7}} over {d}]

여기서, R는 비보존성 물질의 농도, K6는 비보존성 물질의 쇠퇴율, σ6는 비보존성 물질의 침전율, σ7은 하상퇴적물로부터 부상율을 나타낸다.

7. QUAL2E와 QUAL2K 모형의 차이점을 설몋하라.

Explain the difference of QUAL2E and QUAL2K Model.

QUAL2K (Q2K) QUAL2E (Q2E, Brown and Barnwell 1987)의 최근 버전을 표시하기 위한 것이다.  Q2K는 다음과 같은 측면에서 Q2E 유사하다 :

• 일차원 모형으로서 수로는 수직과 횡방향으로 잘 혼합되어 있다고 가정한다.

• 본 시스템은 분류되는 지류를 가지는 본류 하천으로 구성된다.

• 정류 수리학 : 부등류 정류가 모의된다.

• 수온에 대한 모델링은 일변화 시간적 기상조건에 따라 수행된다.

• 모든 주요 수질 변수는 일변화 시간 변동적으로 계산된다.

• 열 및 물질의 입력 : 점 및 비점 부하 및 소멸이 모의된다.

QUAL2K는 다음과 같은 새로운 요소를 포함한다.

• 소프트웨어 환경 및 인터페이스 : Q2K는 Microsoft Windows 환경에서 구현된다. 수치 계산은 Fortran 90을 사용하여 프로그램밍된다. 그래픽 사용자 인터페이스(GUI)로 엑셀을 사용한다. 에 대한 VBA () : 모든 인터페이스 작업은 마이크로 소프트 오피스 매크로 언어인 Visual Basic에서 응용 프로그램(VBA)로 프로그래밍된다.

• 격자망 분할 : Q2E는 일정한 격자망을 사용하나, Q2K는 지류별로 변동적 격자망을 사용하며, 한 격자망에 여러 부하와 소멸원을 입력할 수 있다.

• 탄소성 BOD 분류 : Q2K는 유기 탄소를 대표하는 탄소의 CBOD에 다음의 두 가지 형태를 사용한다. 천천히 산화하는 느린 CBOD 및 급속하게 산화하는 빠른 CBOD

• 무산소 상태 : Q2K는 무산소 상태일 경우 제로로 산화 반응을 감소시켜 산소 결핍을 수용 할 수 있다. 또한, 낮은 산소 농도에서 나타나는 탈질화를 일차 반응으로 모델링한다.

• 침전물과 물의 상호 작용 : 용존 산소와 영양염류의 침전물과 상부 물상의 물질 이동을 지정하는 것이 아니라 모델링할 수 있다. 즉, 퇴적물 산소 요구량 (SOD) 및 영양염류의 플럭스는 침전성 유기물질, 퇴적물내의 반응, 상부수체의 용존 형태의 농도의 함수로 모의된다.

• 하상 조류 : 명시적으로 부착 조류를 모의한다. 이러한 조류는 양론적 변수를 가진다.

• 빛의 소멸 : 빛의 소멸은 조류, 조각물, 무기 고형물의 함수로 계산된다.

• pH : 알칼리도와 총 무기 탄소는 모두 모의된다. 강의 pH는 이러한 두 가지 수량에 따라 계산된다.

• 병원균 : 일반 병원균이 모의된다. 병원균 제거는 온도, 빛, 침전의 함수로 결정된다.

• 지류내 반응 상수의 지정 : Q2K는 지류별로 여러 반응 상수를 지정할 수 있다.

• 웨어와 폭포 : 웨어와 폭포의 수리학뿐만 아니라 가스 전달에 대한 효과를 명시할 수 있다.

5) 본 모형에 있어서 파라미터중 가장 중요한 파라미터를 열거하고 설명하라.

5) Explain the most important parameters of this model.

수질모형을 구성하고 있는 각 파라미터가 모형에서 도출하려고 하는 수질인자의 변화에 미치는 영향을 평가한다.  즉 모형의 구성인자를 일정한 비율로 변화 입력시킴으로써 이것에 대한 수질인자의 변동정도를 파악한다. 예민도 분석에 의해서 하천의 수질 오염의 주요인자의 파악을 가능케함과 동시에 수질변화에 있어서도 중요한 역할을 갖는 파라미터를 파악할 수가 있을 것이다. 이것은 최적의 하천수질관리방법을 모색하는데 에도 유효하다.

한편 예민도 해석을 통해서 각 파라미터 값의 추정 오차가 모형의 출력에 미치는 영향을 평가 할 수도 있다.

입력 자료의 변화가 출력에 미치는 영향 정도를 조사함으로써 중요인자를 도출하며, 장래의 자료 수집시 중요 인자들을 중점적으로 조사하거나, 중요인자들의 상호관계를 규명함으로써 수학적 모형의 개선에 지침을 마련할 수 있다.  특히 국내와 같이 반응계수 자료가 미흡하고 실측할 수 있는 여건이 한정되어 있는 경우에는 예민도 분석을 통해 사업대상 수역에 중요한 영향을 미치는 반응계수를 도출하여 그 인자에 대해 집중적으로 조사, 활용하는 것이 가장 효율적인 것으로 판단된다.

생태학적인 모형은 인자의 수가 대단히 많아서 현재 우리나라에서는 그 값을 정할만큼 자료가 수집되어 있지 않으며, 가까운 장래에 그 모든 인자의 값을 정확하게 규명하는 것도 어려운 여건이다.  그러므로 예민도 분석으로부터 이 인자들의 중요도를 조사하여 조사의 우선순위를 정할 필요가 있을 것이다.

예민도 분석은 입력치의 변화에 따른 결과치의 변화를 평가하는 것으로써 어느 시스템 내에서 관련인자를 정확히 파악할 수 없을 경우 적정치를 계산하거나, 입력 자료의 변화가 결과 치에 미치는 영향 등을 평가할 때 또는 예민도 분석을 통해 유용한 자료를 도출하거나 투자할 만한 가치가 있는 자료를 도출하고자 할 때 사용된다.

<표 6.1-1>은 QUAL2E에서 필요로 하고 있는 시스템파라미터 즉 반응계수들의 종류와 대표적인 범위를 나타내고 있다. <표 6.1-2>는 국내외 반응계수들의 범위를 나타낸다. <표 6.1-3>은 국내에서 측정된 반응계수들이다. 본 모형에 필요로 하는 반응계수중 각 수질항목별 수질항목의 변화에 영향을 미치는 각 반응계수는 다음과 같다.  <표 6.1-4>는 용존산소에 영향을 미치는 반응계수의 범위이다.

표 6.1-1 QUAL2E에서 사용되는 반응계수들의 대표적인 범위

Variable	Description	Units	R of Values	Variable by Reach	Temperature Dependent
a0	Ratio of chlorophyll-a to algal biomass	[eqn: {ug-Chla} over {mgA}]	10 - 100	no	no
a1	Fraction of algal biomass that is Nitrogen	[eqn: {ug-Chla} over {mgA}]	0.07 - 0.09	no	no
a2	Fraction of algal biomass that is phosphorous	[eqn: {ug-P} over {mgA}]	0.01 - 0.02	no	no
a3	O2 production per unit of algal growth	[eqn: {ug-O} over {mgA}]	1.4 - 1.8	no	no
a4	O2 uptake per unit of algal respired	[eqn: {ug-O} over {mgA}]	1.6 - 2.3	no	no
a5	O2 uptake per unit of NH3 oxidation	[eqn: {ug-O} over {mgN}]	3.0 - 4.0	no	no
a5	O2 uptake per unit of NO2 oxidation	[eqn: {ug-O} over {mgN}]	1.0 - 1.14	no	no
[eqn: u _{max}]	Maximum algal growth rate	[eqn: day ^{-1}]	1.0 - 3.0	no	no
[eqn: rho]	Algal respiration rate	[eqn: day ^{-1}]	1.0 - 3.0	no	no
KL	Michaelis-Mention halfsaturation constant for lighturation (Option 1)	[eqn: BTU/ft ^{2} -min]	0.02 - 0.1	no	no
KN	Michaelis-Mention halfsaturation constant for light Nitrigen	[eqn: mg-P/L]	0.01 - 0.20	no	no
KP	Michaelis-Mention halfsaturation constant for light phosphorous	[eqn: mg-P/L]	0.01 - 0.05	no	no
λ0	Non-algal light extinction coefficient	[eqn: ft ^{-1}]	Variable	no	no
λ1	Linear algal selftshading coefficient	[eqn: {1/ft} over {ugCha-a/L}]	0.002 - 0.02	no	no
λ2	Nonlinear algal selfshading coefficient	[eqn: {1/ft} over {(ugChl-a/L) ^{2/3}}]	0.0165 (Riley)	no	no
PN	Algal preference factor for Ammonia	-	0.0 - 0.1	no	no
a1	Algal settling rate	[eqn: ft/day]	0.5 - 6.0	yes	yes

Variable	Description[eqn: {mg-P} over {ft ^{2} -day}]	Units	Range of Values	Variable by Reach	Temperature Dependent
a2	Benthos source rate for dissolved phophorous	[eqn: {mg-P} over {ft ^{2} -day}]	Variable[eqn: {mg-P} over {ft ^{2} -day}]	yes	yes
a3	Benthos source rate for ammonia nitrogen	[eqn: {mg-O} over {ft ^{2} -day}]	Variable	yes	yes
a4	Organic nitrogen settling rate	[eqn: day ^{-1}]	0.001 - 0.1	yes	yes
a5	Organic phophorous settling rate	[eqn: day ^{-1}]	0.001 - 0.1	yes	yes
a6	Ambitrary non-conservative settling rate	[eqn: day ^{-1}]	Variable	yes	yes
a7	Benthal source rate for arbitrary non-conservative settling rate	[eqn: {mg-ANC} over {ft ^{2} -day}]	Variable	yes	yes
k1	Carbonaceous deoxygenerati on rate constant	[eqn: day ^{-1}]	0.02 - 3.4	yes	yes
k2	Reaeration rate constant	[eqn: day ^{-1}]	0.0 - 100	yes	yes
k3	Rate of loss of BOD due to settling	[eqn: day ^{-1}]	0.36 - 0.36	yes	yes
K4	Benthic oxygen uptake uration constant for light (Option 1)	[eqn: {mg-O} over {ft ^{2} -day}]	Variable	yes	yes
K5	Coliform die-off rate	[eqn: day ^{-1}]	0.05 - 4.0	yes	yes
K6	Ambitrary non-conservation decay coefficient	[eqn: day ^{-1}]	Variable	yes	yes
β1	Rate constant for the biological oxidation of biological oxidation of NH3to NO2	[eqn: day ^{-1}]	0.10 - 1.0	yes	yes
β2	Rate constant for the biological oxidation of NO2 to NH3	[eqn: day ^{-1}]	0.20 - 2.0	yes	yes
β3	Rate constant for the hydrolysis of organic-N to ammonia	[eqn: day ^{-1}]	0.02 - 0.4	yes	yes
β4	Rate constant for the decay of drganic-P to dissolved-P	[eqn: day ^{-1}]	0.01 - 0.7	yes	yes

표 6.1-2 국내외 반응계수들의 자료 현황

항목	정 의	단 위	건기원	QUAL2E	국내치
a3	O2 production per unit of algal growth	[eqn: {mg-O} over {mgA}]	0.133-2.67	1.40-1.8	*
a4	O2 uptake per unit od algae respired	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.10-2.66	1.60-2.3	*
a5	O2 uptake per unit of NH3 oxidation	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.10-6.20	3.00-4.0	*
a6	O2 uptake per unit of NO2 oxidation	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.50-6.60	1.00-1.14	*
[eqn: u _{max}]	Maximum algal growth rate	[eqn: day ^{-1}]	0.20 - 11.0	1.00 - 3.0	*
ρ	Algal respiration rate	[eqn: day ^{-1}]	0.005 - 0.92	0.05 - 0.5	*
σ1	Algal settling rate	[eqn: m/day]	0.000 - 30.0	0.50 - 6.0	*
σ2	Benthos source rate for dissolved phophorous	[eqn: {mg-P} over {m ^{2} -day}]	0.000 - 1.70	Variable	*
σ3	Benthos souce rate for ammonia nitrogen	[eqn: {mg-O} over {m ^{2} -day}]	0.000 - 1.80	Variable	*
K1	Carbonaceous deoxygeneration rate constant	[eqn: day ^{-1}]	0.004 - 4.24	0.02 - 3.4	0.02 - 0.4
K2	Reaeration coeff.		0.000 - 5.60	0.00 - 100.	0.05 - 4.27
K3	Rate of loss of BOD due to settling	[eqn: day ^{-1}]	0.022 - 44.0	-0.36 - 0.36	0.20 - 8.0
K5	Coliform settling coeff.		0.003 - 0.50	0.05 - 4.0	0.10 - 4.0
K4	Benthic oxygen uptake	[eqn: {mg-O} over {m ^{2} -day}]	0.090 - 20.0	Variable	*
β1	Rate constant for the biological oxidation ofNH3 to NO2	[eqn: day ^{-1}]	0.001 - 0.40	0.01- 1.00	0.10 - 1.0
β2	Rate constant for the biological oxidation of NO2 to NH3	[eqn: day ^{-1}]	0.001 - 0.80	0.20 - 2.00	0.20 - 2.0
β3	Rate constant for the hydrolysis of drganic-N to ammonia	[eqn: day ^{-1}]		0.02 - 0.40	*
β4	Rate constant for the decay of organic-P to dissolved-P	[eqn: day ^{-1}]		0.01 - 0.70	*

표 6.1-3 국내 반응 계수 결정 현황

사업 명	K1	범 위
		최소치 최대치
한강 유역 환경보전사업	K1 K2 K3	0.02 0.35 0.05 1.83 8.0
낙동강유역 환경보전사업	K1 K2 K5 β1 β2	0.10 0.40 Lanbien & Durum 0.80 2.00 0.10 0.30 0.40 1.50
서남 해권 환경보전사업	K1 K2 K3 K5 β1 β2	0.05 0.25 0.10 O'Conner & Dobbins 4.27 0.20 0.80 0.10 4.00 0.10 1.00 0.20 2.00

표 6.1-4 용존산소에 영향을 미치는 반응계수의 범위

변수명	정 의	단 위	범 위
			최 소 치	적 정 치	최 대 치
a3	O2 production per unit of algal growth	[eqn: {mg-O} over {mgA}]	0.134	1.650	2.669
a4	O2 uptake per unit of algae respired	[eqn: {mg-O} over {mgA}]	0.901	1.640	2.570
a5	O2 uptake per unit of NH3 oxidation	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.100	4.170	6.200
a6	O2 uptake per unit of NO2 oxidation	[eqn: {mg-O} over {mgN}]	0.630	3.110	5.595
μmax	Maximum algal growth rate	[eqn: day ^{-1}]	0.408	1.820	6.142
ρ	Algal respiration rate	[eqn: day ^{-1}]	0.016	0.050	0.479
σ1	Algal settling rate	[eqn: m/day]	0.012	1.500	5.475
σ2	Benthos source rate for dissolved phosphorous	[eqn: {mg-P} over {m ^{2} -day}]	0.000	0.120	1.700
σ3	Benthos source rate for ammonia nitroge	[eqn: {mg-O} over {m ^{2} -day}]	0.000	0.130	1.175
K1	Carbonaceous doxygenation rate constant	[eqn: day ^{-1}]	0.030	0.220	0.903
K3	Rate of loss BOD due to settling	[eqn: day ^{-1}]	0.189	0.470	5.193
K4	Benthic oxygen uptake	[eqn: {mg-O} over {m ^{2} -day}]	0.052	2.220	13.898
β1	Rate constant for the biological oxidation of NH3 to NO2	[eqn: day ^{-1}]	0.003	0.110	0.500
β2	Rate constant for the biological oxidation of NO2 to NH3	[eqn: day ^{-1}]	0.090	1.260	14.531
β3	Rate constant for the hydrolysis oxidation of to ammonia	[eqn: day ^{-1}]	0.002	0.020	0.272
β4	Rate constant for the decay of drganic-N dissolved-P	[eqn: day ^{-1}]	0.0029	0.040	1.192

<표 6.1-5>에 나타난 바와 같이 용존산소의 증감에 영향을 미치는 주반응계수는 하상의 산소섭취율, 탄소성 탈산소율, 침전에 의한 BOD 감소율 등 BOD에 관계된 계수이다.

표 6.1-5 반응계수의 변화가  용존산소에 미치는 영향

순위	항목	반응계수 변화에 대한 용존산소농도			영향계수(%)
		최대치(A)	최소치(B)	실측치(C)	│A - B│*100 C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	K4 K1 K3 μmax α3 ρ σ1 α4 β1 α5 α6 β3 β4 β2 σ2 σ3	0.00 0.00 0.38 0.23 0.21 0.25 0.27 0.26 2.58 2.62 2.63 1.77 1.76 2.19 2.65 2.65	1.20 0.75 0.20 0.17 0.17 0.30 0.29 0.27 2.68 2.68 2.65 1.76 1.77 2.20 2.65 2.65	0.19 0.19 0.19 0.09 0.19 0.29 0.29 0.26 2.65 2.65 2.65 1.76 1.76 2.20 2.65 2.65	631.50 384.70 94.70 31.60 21.05 17.24 6.90 3.85 3.77 2.26 0.76 0.57 0.57 0.46 0.00 0.00

BOD에  영향을 미치는 주 계수는 BOD 감쇄 속도 K1과 침전에 의한 BOD 손실율 K3 등인데 <표 6.1-6>에 나타나 있다.

표 6.1-6 반응계수의 변화가 CBOD에 미치는 영향

순위	항목	반응계수 변화에 대한 CBOD 농도			영향계수(%)
		최대치(A)	최소치(B)	실측치(C)	|A - B|*100 C
1 2	K1 K3	2.15 1.32	0.65 0.18	1.46 1.46	102.74 78.06

질소/인에 영향을 미치는 계수들은 본 대상하천의 경우 그 영향율이 극히 적기 때문에 이런 계수들은 고려하지 않았다.

DO의 경우 입력자료의 최대, 최소치 변화에 따른 DO의 변화폭은 0-630%였으며 항목별로 보면 K4, K1, K3 등 CBOD와 관련된 반응계수가 95-632%로써 입력치의 변화에 따라 DO의 변화폭이 심한 것으로 나타났고 다음으로는 μmax, α3, ρ 등 조류와 관련된 반응계수가 7-32%로써 DO에 영향을 미치는 것으로 나타났다.  질소, 인을 의미하는 반응계수 σ2와 σ3를 제외하고는 거의 모든 반응계수가 DO에 영향을 미치고 있어 DO의 정확한 예측을 위해서는 거의 모든 반응계수에 관한 자료가 입력되어야 함을 알 수 있으나, K4, K1, K3 등 CBOD와 관련된 반응계수가 DO에 큰 영향을 미치고 있으므로 이에 대한 자료만이라도 정확히 입력된다면 결과치에 대한 신뢰도는 상당히 높아질 것으로 기대된다.

따라서 K4 등 국내에 자료가 거의 없는 반응계수에 대해서는 필히 측정 또는 조사되어야 할 것으로 사려 된다.

탄소성 생화학적 산소요구량(Carbonaceous BOD)의 경우 농도에 영향을 미치는 주요 반응계수는 탈산소계수 K1과 BOD침강계수 K3였으며 다른 반응계수의 변화는 CBOD농도에 전혀 영향을 미치지 않았다.  또한 K1, K3의 최대, 최소치의 입력 변화에 따른 BOD의 변화폭은 103%, 78%로 K1이 K3보다 조금 더 큰 영향을 미치고 있었으며 DO에 영향을 미치는 주요 반응계수와 비교해 볼 때 K1, K3 모두 DO에 미치는 영향보다는 다소 적게 나타났고 DO에 큰 영향을 미쳤던 K4도 CBOD농도에 영향을 전혀 미치지 않는 것으로 나타났다.

6.2  파라미터 STUDYⅠ - DO, BOD의 영향인자들

장래의 수질변화를 예측하는 수질인자로서 DO와 BOD를 많이 사용한다.  DO는 수질을 평가하기 위한 인자로서 널리 이용되고 있는 항목이며 BOD, NH3-N 등의 영향을 받으나 반면 DO 농도에 의해서 다른 수질인자의 농도도 영향을 받는다.

BOD, DO에 관한 유속 및 확산에 의한 이동을 제외한 물질평형식과 파라미터에 대한 설명은 다음과 같다.

DO문제는 수역으로의 산소요구물(오염물)의 투입으로부터 시작된다.  수역자체에서의 DO의 공급원은 다음과 같다.

1. 공기로부터의 재폭기

2. 광합성으로부터의 산소 생산

3. 유입되는 지류나 유출물에서의 DO 유입

소비원은 다음과 같다.

1. 탄소성 오염물의 산화

2. 질소성 오염물의 산화

3. 하상의 침전물의 산소 요구

4. 수생식물의 호흡작용에 의한 산소의 이용

용존산소는 재폭기 및 조류의 광합성에 의해 증가하고, 탈산소, 하상퇴적물, 암모니아성 질소 및 아질산의 산화에 의해 감소한다.

DO의 일반적 물질 평형식은 다음과 같이 쓰여 질 수 있다.

V(dc/dt) = 재폭기 + (광합성 - 호흡작용)

- CBOD, NBOD(투입되는)의 산화

- 침전물의 산소 요구량 + 산소 투입량

- 산소 운반(침전물로 들어가고 나오는)

여기서, V는 수체의 부피이고, c는 DO의 농도이다.

[eqn: {dO} over {dt} =K _{2} (O ^{*} -O)+(au-a _{4} rho )A-K _{1} L-K _{4} `/d-a _{5} ` beta _{1} N-a _{6} ` beta _{2} N]

여기서, O는 용존산소의 농도이고, O*는 주어진 온도 및 압력하의 포화산소농도이며, α3는 조류의 광합성에 의한 산소생산량이고, α4는 조류의 호흡에 의한 산소 감소율이며, α5는 암모니아성 질소의 산화에 따른 산소소모율이며, α6는 아질산의 산화에 따른 산소소모율이며, K4는 하상퇴적물에 의한 산소감소율, β2는 아질산의 산화율, β1는 암모니아 산화율을 나타낸다.  그러나 본 대상하천의 특성상 K2, K1, 그리고 K4만을 주요인자로 보고 그것만을 고려하기로 한다.

그러므로 K2, K1, 그리고 K4에 대해 집중적으로 알아보기로 한다.

CBOD(탄소성 생물학적 분해가능 오염물)는 탈산소(BOD 분해) 및 침전에 의해 감소한다.

[eqn: {dL} over {dt} =-K _{1} L-K _{3} L]

여기서, L는 CBOD의 농도, K1은 탈산소율, K3는 침전에 의한 감소율이다.

또한 BOD에 미치는 영향 K1,K3에 대해 알아본다.

6.2.1 DO에 영향을 미치는 주요인자들

1) 재폭기 계수( K2 )

하천의 재폭기계수는 하천의 유속, 수심, 수면구배, 수온 등에 의해서 다르다.  Streeter-Phelps는 재폭기계수의 온도 변화를 다음 식으로 표현하였다.

K2(T') = K2(T)θ

여기서,	K2(T') : T'(˚C)에 있어서의 재폭기계수(1/d)

K2(T) : T(˚C)에 있어서의 재폭기계수(1/d)

θ : 온도 보정계수(범위 : 1.015 - 1.047)

Fair는 온도 1˚C의 변화에 의해서 K2가 4.7%식 변화한다고 보아 온도 보정계수(θ)를 1.047로 하였다.

K2(T) = K2(20˚C).1.047(T-20)

Metcalf와 Eddy는 온도 보정계수로서 1.024를 제안하고 있다.

20˚C에 있어서의 재폭기계수(K220)을 산출하기 위하여 수많은 방정식이 제안되고 있으나 원래 QUAL2E에서는 다음과 같은 방정식이 사용되고 있다.

① Churchill, Elmono and Buckingham(1962)

가장 광범위하고 정확한 측정치를 근거로 하였다고 판단되는 방정식이다.  K220은 다음 식으로 구할 수 있다.

K220 = 2.718U-0.969 . D-1.673

여기서,  U : 하천의 평균유속(m/s)

D : 하천의 평균수심(m)

② O'Connor and Dobbins (1958)

난류특성을 고려한 방정식으로서 유속이 느리고 등방성의 경우에 다음 식으로 표현된다.

[eqn: K _{2} ^{`20} = {(Dm BULLET U) ^{1/2}} over {D ^{1/5}} `*`1.346]

유속이 빠르고 비등방성인 경우에는 다음과 같다.

[eqn: K _{2} ^{``20} = {357 BULLET Dm ^{1/2} BULLET S _{`0} ^{1/4}} over {D ^{1.25}} `*`2.31]

여기서,   S0 : 하상구배

D : 평균수심(m)

U : 평균유속(m/s)

Dm : 분자확산계수(m2/day) [=1.77*102(1.037)T-20]

등방성 조건이란 Chezy계수가 17이상으로 되는 경우를 말하며, 17미만일 경우는 비등방성조건이 된다.

③ Owens, Edwards and Gibbs(1964)

유속이 0.03 - 1.5m/s, 수심이 0.1 - 3.35m인 하천에 있어서의 K220로서 다음 식으로 주어진다.

[eqn: K _{2} ^{20} -2.3 BULLET U ^{0.67} /D ^{1.85} `*`2.31]

④ Thackston and Krenkel(1966)

Tennesee주에 속하는 몇 개의 하천을 대상으로 하여 얻어진 K220치이며 다음 식으로 주어진다.

[eqn: K _{2} ^{20} =10.8 BULLET (1+F ^{`0.5} )` {U ^{*}} over {D} `*`2.31]

여기서,    F : Froude 수	f = U*/√gD

U* : 전단속도 (m/s)

[eqn: U ^{`*} =D BULLET Se BULLET g= {U BULLET n LOR g} over {D} `*1.167]

g : 중력가속도 (m/s2)          n : Manning 계수

⑤ Isaacs(1964)

[eqn: K _{2} ^{``20} =11.8``*U```*`H ^{```-1.5}]

2) BOD 분해능 계수 (탈산소 계수, K1)

유수 중의 유기물의 산소소비의 주원인을 생물화학반응이라고 볼 때, 유기물에 의한 오염량은 BOD로 나타내는 경우가 많다.

생물체의 농도를 S 라고 하고 최종 BOD를 L로 표시한다.  만약에 L의 농도가 충분할 경우에는 미생물의 증식은 S의 증가에 비례하여 반응이 진행된다.  즉, 비증식속도를 K1이라고 하여

[eqn: {dS} over {st} =K _{1} S,]	[eqn: S=S _{`0} `e ^{k`t}]                           (1)

L이 작을 때는 증식속도는 L에 비례해서 증가하며 다음 식으로 표시된다.

[eqn: {dS} over {dt} =K _{2} SL]                                                (2)

여기서, L1 = K1/K2로 하고 L > L1일 때는 (1)식이 성립되고 L < L1일 때는 (2)식이 성립할 것 같으면, 임의의 BOD값에 대해서 다음 식이 성립된다.

[eqn: {dS} over {dt} = {K _{1} SL} over {L+L _{1}}]                                              (3)

식 (3)은 산소반응력학에 있어서의 Michelis-Menton의 식과 같은 형식이 된다. 지금 섭취된 최종 BOD(L)가 생물체내의 농도 S가 되는 비율을 α라고 하면

[eqn: dS=-adL]                                                        (4)

(4)의 식이 성립된다고 하면, 식(1)에 대응하는 BOD의 변화는 다음과 같은 식이 된다.

[eqn: L=L _{0} {S _{0}} over {a} (e ^{-kt} -1)]                                                 (5)

식(2)에 대해서는

[eqn: L=L _{0} LEFT ( L _{0} + {S _{0}} over {a} RIGHT ) / LEFT [ L _{0} + {S _{0}} over {a} exp LEFT [ K _{2} (L _{0} + {S _{0}} over {a} )t RIGHT ] RIGHT ]]                       (6)

식(3)에 대해서는

[eqn: LEFT ( L _{1} +L _{0} + {S _{0}} over {a} RIGHT ) ln LEFT [ {L _{0} +(S _{0} /a)-L} over {S _{0} /a} RIGHT ] L _{1} BULLET ln LEFT ( {L} over {L _{0}} RIGHT ) =K _{1} LEFT ( L _{0} + {S _{0}} over {a} RIGHT ) t]        (7)

지금, 식(7)에 있어서 L <L0 < S0일 것 같으면

[eqn: L=L _{0} `exp LEFT ( -K _{2} {S _{0}} over {a} t RIGHT ) =L _{0} `e ^{`-kt}]                                        (8)

로 된다.  이것은 S = S0 = 일정하다. 즉, BOD가 낮고 사실상 생물의 증식을 무시할 수 있을 때에는 BOD반응은 다음과 같은 1차식이 된다.

[eqn: {dL} over {dt} =-KL]

탈산소 계수는 실험실에서 측정하거나 또는 현장에서 구할 수가 있으나 양자간의 K는 상당한 차가 있다는 것이 많은 연구자에 의해서 지적되고 있다.

실험실에서는 일정시간 간격을 두고 BOD의 변화를 측정하여 탈산소계수를 구할 수가 있다. 이 자료를 이용하여 탈산소계수를 구하는 방법으로서는 Least Square Method, Slope Method, Moment Method, General Laboratory Method 및 Simple Graphic Method 등이 있다. 이 중에서 General Laboratory Method와 Simple Method를 이용하여 K1을 구했더니 General Laboratory Method법 쪽이 매우 적합한 방법이라는 것을 알 수 있었다.

General Laboratory Method는 Syracus 대학을 위시하여 각 실험실에서 실제로 응용되고 있는 방법이다. BOD 측정결과를 반대수지위에 도시하는 것으로써 종축에 BOD를 횡축에 시간을 취하여 직선회귀방정식을 구하여 탈산소계수를 구한다.  이 방법을 이용하는 데 있어서는 식수초기에 BOD L0를 우선 결정하고 식수의 BOD의 경일 변화를 시간에 대해서 도시한다.

3) 침전물 산소 요구량 (Sediment Oxygen Demand, K4)

K4와 관련된 SOD에 대해서는 다음과 같이 설명할 수 있다.  침전 가능한 폐기물의 방류는 결국 슬러지 퇴적이나 폐기물 배출구 밑 근처에 유기물질의 침전 형태로 될 수 있다.  유속이 강이나 하구 바닥을 씻어낼 수 없을 만큼 낮다면 이들 침전물은 체류시간 동안에 쌓이게 된다.  침전 고형물의 깊이에 따라 더 깊은 층에서 유기물의 혐기성 분해가 시작된다.  이 분해산물 CO2, CH4, H2S가 슬러지층을 통해 위로 발생한다.  가스 생산량이 특별히 많다면 sludge가 바닥을 부유하고 순간적인 DO고갈뿐만 아니라 심각한 심미적인 문제를 야기 시킬 수 있다.  대개 물과 직접적으로 접하는 바닥 침전물의 표면층은 호기성 분해를 일으키고, 그 과정에서 수면으로부터 공급되는 산소를 감소시킨다.  즉, DO는 호기성 산화로 인해 침전물의 표면층으로 분산해 들어간다.

일부 강과 하구에 대하여, 고형물의 침전은 유량이 적은 여름과 유속이 낮은 가을 동안에만 일어난다.  유량이 많은 다음 해 봄은 깨끗하게 바닥을 씻어내고 유속이 다시 감소할 때까지 침전물에 의한 오염문제는 감소한다.  중간 경우의 유량이 큰 곳에서는 단지 침전물을 일부만 씻어내고 일부를 산화, 다른 지역에서 물질을 재침전 시키는 것이 일반적이다.

침전물 산소요구량(SOD)은 항상 오수나 산업 슬러지 때문이 아닐 수도 있다.  용해성 유기폐수는 가끔 산소의 실질적인 양을 회수할 수 있는 Sphaerotilus와 같은 고착 사상균의 성장 결과일지도 모른다.  뿌리를 가지고 있는 수생식물의 사멸과 자연 수량에 유기퇴적물 및 잎들은 침전 유기물에 기여할 수 있는 데 침전 유기물은 안정화를 위해 산소를 요구한다.  결국, 부영양화 체제(특히 호수)내에 식물성 플랑크톤의 침전은 중요한 SOD수준이 될 수 있다.  따라서, 바닥의 상태는 오수의 침전물 깊이나 산업폐수 발단(몇 ft의 깊이는 점오염원 및 결합 하수구 월류로부터 관찰된다.)에서 식물발단 물질의 비교적 얕은 침전물 및 깨끗한 암석이나 모래에 이르기까지 변화를 준다.  따라서 바닥 침전물에 의한 산소 이용은 유기물의 정도와 저층군체의 특성에 따른다.

현장측정에는 바닥에 있는 우묵한 곳의 침몰 및 시간에 대한 O2흡수력의 측정을 수반한다.  실험실 측정은 산화된 물을 담고 있는 큰 용기에 시료를 넣고 강바닥(적당히 조용한)의 시료를 제거함으로써 이루어진다.  시간에 대한 DO 환원은 바닥 진흙의 섭취량을 측정한다.  결과는 보통 g O2 섭취량/m2.day로 나타낸다.

최초 SOD의 중대한 연구 중 일부가 Baity(1983)와 Fair등 (1941)에 의해 이루어졌다.  현장측정은 최근 수많은 수계에 대하여 행해지고 있다.

다음 <표 6.2-1>은 SOD값의 범위를 요약한 것이다.

표 6.2-1 침전물 산소 요구 값

바닥 형태와 위치	20˚C에서의 SOD([eqn: gO _{2} /m ^{2} /day])
	범위	대략의 평균
Sphaerotilus-(10g 건조 무게/m2) 도시 오수 슬러지-배출구 부근 오래된 도시 오수 슬러지, 배출구의 저류 큰 강어귀의 진흙 모래 바닥 광물 토양	- 2-10.0 1-2 1-2 0.2-1.0 0.05-0.1	7 4 1.5 1.5 0.5 0.07

g O2/[eqn: m ^{2} /day]의 요구량이 바닥 표면적으로부터 소비된다. 따라서 총 유량은

[eqn: S _{acute{B}} = {S _{B} `A _{B}} over {V} = {S _{B}} over {H} `]	혹은	[eqn: S _{acute{B}} = {S _{B}} over {A/P _{B}} = {S _{B}} over {LEFT ( R _{H} RIGHT ) _{B}}]

여기서,   SB : SOD[M/L2.T]

AB : 제공하는 바닥 면적 [L2]

V : 수체위에 있는 체적[L3]

SB' : 산소 요구량 [M/L3.T]

A : 단면적 [L2]

PB : 바닥 침전물과 수계의 접촉 길이 [L]

(RH)B : 유효한 수리학적 반경 [L]

온도 영향은 다음 식으로 표현된다.

[eqn: LEFT ( S _{B} RIGHT ) _{T} = LEFT ( S _{B} RIGHT ) _{20} LEFT ( theta RIGHT ) ^{T-20}]

에 의해 대략 10-30˚C 범위 내에 있다.  여기서 온도 계수 θ는 1.040-1.130 (Zison 등, 1978)의 범위를 가진다.  1.065의 값이 자주 사용된다.  10˚C이하에서 SOD는 식에 나타난 것보다 더 빨리 감소하고 0-5˚C수온에서 0에 접근한다.

침전물의 깊이는 흡수율이 이런 인자들에 의존하기 때문에 중요하다. Oldaker 등(1966)은 완전 안전화에 필요한 최종 산소량의 계산과 1.5-2.0cm 범위에 대한 침전물(가정 오수로부터 나오는 침전물)의 깊이에 대한 직선관계를 세웠다.  다른 연구들(Owens 등, 1964과 Fillos & Molof, 1972)은 흡수력(uptake)은 약 2 - 8cm보다 큰 깊이에 대한 슬러지 깊이에는 관계가 없다는 것을 지적하였다.

일반적으로 대부분 계산에 대하여 흡수율은 2 - 5[eqn: mg/l] DO 범위에 대하여 Baity(1938)에 의해 결론지어진 것처럼 물 위에 있는 산소 농도는 무관하다고 추측하였다. 그러나, Edwards & Owens(1965)는 흡수율이 약 0.45 배의 DO만큼 변한다고 지적하였다.

Fillos와 Molof(1972)의 자료는 7.6cm 슬러지 깊이에 대하여 다음 관계가 된다.

[eqn: S _{B} = LEFT ( {c} over {0.7+c} RIGHT )]

여기서,   [eqn: S _{B} (g/m ^{2} ),``c(mg/l)=DO]

이 관계는 c > 3mg/l에 대한 SB의 무관함을 나타내고 0.7mg/l DO에서 그것의 최대값 절반에 있다.

2차 폐기물 처리 수준과 고도 폐기물 처리 수준이 증가함에 따라, 총 발생량, 미처리 오수 유래의 독성 슬러지 침전물은 증가한다.  그럼에도 불구하고 순간 처리장 보조 수로와 결합 하수구 월류는 여전히 수저 생물 요구량에 기여할 수 있다.  게다가, 용해성 폐기물과 용해성 물질의 부수적인 효과는 SOD에 기여할 수 있는 박테리아의 성장과 고등식물 성장을 일으킬 수 있다.

6.2.2 BOD에 영향을 미치는 인자들

(1) K1 은 앞에서 설명하였으므로 생략한다.

(2) 일반적으로 유기성 오염물질의 호기성 조건에서의 K3 (침전에 의한 감소)에 의한 산소소비는 10일전 후에 변곡점을 갖는 곡선이 된다.  이유는 우선 탄소화합물의 분해가 일어나고 다음에 질소화합물의 분해가 일어나기 때문이다.  전자를 CBOD 후자를 NBOD라 하는데 유기물질의 농도가 높을 때는 질화 작용의 억제로 인해 NBOD는 나타나지 않는다.

한편 CBOD는 유기탄소를 에너지원으로 하는 Heterotrophic 미생물에 의해 작용되고 대부분의 강, 호소들은 상당량의 Heterotrophic 생물체를 함유한다.

Qual2e에서는 CBOD를 고려하였고 그것은 앞의 식에서 보는바와 같이 K1과  K3에 의해 크게 좌우됨을 알 수 있다.

6.3  파라미터 STUDY Ⅱ

6.3.1 K2와 수두유량의 영향

shin1.dat의 입력 자료에서 수질에 영향을 미치는 주요인자들만을 보면 우선 K2는 4.5를 K1은 0.55로 K3, K4 등은 각각 0을 입력시켰다. 또한 수두에서의 유량은 0.5로 입력되어 있었다. 유량은 잘못 입력된 것으로서 앞으로의 모든 입력 자료는 유량의 영향을 알아보기 위한 자료를 제외하고는 모두 2.0으로 할 것이다.  제일 처음의 작업은  QUAL2E모형에서 이용 가능한 K2의 8가지 계산공식 중 환경보전 장기 종합계획 시 우리나라의 하천의 DO농도에 가장 적합한 공식으로 밝혀진 Lanbein & Drunm 공식 - 옵션 6 등을 이용하여 SHIN1자료의 K2에 바꿔 입력하고 모의실험을 한다.

결과 DO값은 shin1의 결과보다 올라가는 추세였다.  또한 수두유량을 0.5에서 2로 변화시켰을 때 역시 DO가 올라가는 것을 알 수 있었다. 유량에 의한 변화보다는 K2에 의한 변화량이 많은 것도 볼 수 있다. 한편 수두유량의 영향을 알아보기 위해  수두유량을 3으로 변화시켰을 때는 아주 약간의 변화가 있었다.(DO가 약간 올라감) K2는 DO에 큰 영향을 미치고 있으며 이에 비해 수두유량은 DO에 적은 영향을 나타낸다.

BOD의 변화정도를 살펴보면 K2를 옵션 6으로 입력했을 때 shin1의 결과와 거의 유사함을 볼 수 있다. shin1의 결과를 보정작업이 끝난 것이라 본 다면 K2값의 계산방법 중 옵션 6은 좋은 결과를 볼 수 있고 대상하천에도 잘 맞는다는 것을 알 수 있다.  그러나 DO의 결과에서는 차이가 있기 때문에 K2의 계산방법은 다시 한 번 고려할 필요가 있다.  이 문제에 대해서는 후에 8가지 방법을 모두 실험해 봄으로써 궁금증을 풀어 보기로 하고 여기서는 거론하지 않기로 한다. 수두유량을 0.5에서 2로 입력했을 때 BOD의 변화는 많은 폭으로 감소함을 나타낸다. 그러므로 유량은 BOD변화에 큰 영향을 미치고 있으며 민감도가 크다고 하겠다.

결론적으로 BOD는 수두유량에 민감하게 반응하며 DO는 K2의 변화에 더욱 민감하다.

S H I N	K1=0.55	BOD	62.3	60.73	58.91	57.84	56.79	74.86	74.12	70.54
	K2=4.5
	K3=0
		DO	3.5	3.1	2.9	2.7	2.7	2.4	2.2	1.9
	K4=0
	수두유량=0.5
1	K1=0.55	BOD	62.27	60.73	58.91	57.84	56.79	74.86	74.12	70.54
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.46	5.48	5.38	5.37	5.37	5.37	4.36	4.23
	K4=0
	수두유량=0.5
2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	27.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
3	K1=0.55	BOD	35.5	34.9	34.3	33.9	33.5	43.4	43.1	42.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.3	5.48	5.6	5.6	5.7	5.3	5.3	5.1
	K4=0
	수두유량=3.0

6.3.2 재폭기계수 K2 의 영향

이번 단계에서는 DO에 가장 큰 영향을 미친다고 할 수 있는 K2의 민감도에 대해 실험하기로 한다.  우선 비교할 기준은 shin1자료에 의한 결과이고 K2의 shin1의 K2값의 50%씩을 증감시킨 값 2.25와 6.75를 입력하여 결과를 얻는다.  유량이 shin1 자료와 달라서 엄밀한 의미에서는 비교가 객관적이지 못하지만  QUAL2E에서는 K2등 다른 여러 계수가 독립성을 가지고 있으므로 각 계수에 대한 영향값은 구별해 내기 쉬운 편이다. 다음 표를 보면 K2의 QUAL2E의 대표적인 범위는 1 - 100이고 국내 치는 0.02 - 4.00 이다.

shin1자료에서 수두유량을 2로 바꿔 넣어주고 K2를 각각 2.25, 6.75를 넣어주고 결과를 shin1결과와 비교하면 2.25와 6.75의 변화는 거의 일치함을 볼 수 있고 shin1결과 보다는 BOD값이 많이 떨어졌음을 알 수 있다.  이것은 앞의 실험에서도 볼 수 있었듯이 유량에 의한 영향임을 쉽게 추측해 낼 수 있다.  K2는 BOD의 변화에는 거의 아무런 영향력이 없음을 알 수 있다.

그러나 DO에 있어서는 K2가 2.25 (50%감소)일 때 shin1(K2=4.5)보다 떨어졌으며 K2가 6.75(50%증가)일 때 올라갔다. 변화폭도 크게 나타났고 증감폭이 각각 50%임에도 불구하고 비례적으로 DO가 변화하지 않은 것으로 보아 다른 인자가 작용했을 것으로 추측된다. 유량의 영향이 아닌가 싶다.

결론적으로 BOD는 K2에 거의 영향을 받지 않으며 DO는 K2에 지대한 영향을 받음을 알 수 있다. DO는 K2값에 아주 강한 비례의 성질을 가지며 BOD에서는 이와 반대로 K2값에 약한 반비례의 성질을 가진다.

4	K1=0.55	BOD	39.9	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=2.25
	K3=0
		DO	2.32	2.12	1.9	1.8	1.7	1.6	1.5	1.2
	K4=0
	수두유량=2.0
2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
5	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=6.75
	K3=0
		DO	4.8	5.0	5.2	5.3	5.4	5.1	5.1	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0

6.3.3 탈산소계수 K1의 영향

탈산소계수 K1 역시 DO에 현저한 영향을 미치는 계수로 평가되고, 그 범위는 다음 표에서 볼 수 있듯이 0.02에서 3.4로 K2보다는 그 범위가 좁다. 이번 단계의 실험부터는 shin1의 자료에서 수두유량 및 재폭기계수 K2만을 변화시켜 수두유량을 2로 고정하고 K2를 option6으로 고정하여 이것을 STND자료로 부를  것이다.  여기서 비교하고자 하는 K1의 영향은 STND의 K1값 0.55에서 약 50%씩 증감시켜, K1값을 각각 0.3와 1.0을 입력하여 그 영향도를 조사한다.

여기서 비교하고자 하는 K1값에 STND자료에서 50% 증가시킨 값 1.0을 입력하였을 때 BOD의 변화는 작아서 STND의 결과와 아주 유사하고 BOD값이 적어진다.  STND 자료값에서 50%감소시킨 0.3을 입력하면 결과치의 변화폭은 역시 적고 BOD는 높아진다.

반면 DO의 영향에서는 BOD와는 달리 변화폭이 크고 0.3을 입력하면 BOD

STND보다 낮아지고 1.0을 입력하면 STND보다 높아진다.

따라서 BOD에서는 K1값이 커지면 약간 커지고 작아지면 약간 작아지는 약한 비례의 성질이, DO에서는 K1값이 커지면 아주 작아지고 K1값이 작아지면 아주 커지는 강한 비례의 성질을 나타낸다.

6	K1=0.3	BOD	40.8	40.4	39.9	39.7	39.4	51.9	51.7	51.2
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	6.1	6.4	6.6	6.7	6.8	6.3	6.3	6.2
	K4=0
	수두유량=2.0
2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
7	K1=1.0	BOD	38.5	37.3	35.8	35.8	34.2	46.6	45.9	4.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	4.8	4.7	4.4	4.4	4.3	3.7	3.5	3.1
	K4=0
	수두유량=2.0

6.3.4 침전에 의한 BOD감소율 K3의 영향

침전에 의한 BOD감소율 K3는 다음 <표>에서 볼 수 있듯이 건설기술연구원의 자료에 의하면 그 범위는 0.000 에서 5.6까지, QUAL2E의 대표적인 K3 값의 범위는 -0.36에서 0.36까지 이고 국내 치는 0.2에서 8까지로 그 범위가 다소 넓다.  - K2의 범위 0에서 100까지(QUAL2E의 대표값)에 비하면 좁고, K1의 범위(QUAL2E의 대표값: 0.02 - 3.4)에 비하면 넓다.  <표 4>를 보면 DO에 영향을 미치는  K3의 적정치가 0.47이기 때문에 우리가 모의실험 할 값은  적정치 0.5(0.47), 그리고 적정치를 기준으로 0.5씩 증감시킨 0.0과 1.0씩을 각각 입력한다.

K3를 0.0, 0.5, 1.0 등으로 증가시킴에 따라 DO는 증가추세를 보였고 BOD는 감소추세를 보였다.  증가폭은 DO가 아주 미세한 변화를 보였고 BOD는 DO의 변화보다는 약간 큰 폭으로 증가하였다.

이것으로 보아 K3는 DO 보다는 BOD에 더 큰 영향을 미치고 있음을 알 수 있었다.

2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
8	K1=0.55	BOD	38.4	37.1	35.6	34.7	33.8	46.2	45.5	44.3
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.7	5.8	5.9	5.9	6.0	5.4	5.4	5.2
	K4=0
	수두유량=2.0
9	K1=0.55	BOD	36.8	35.0	33.0	31.8	30.6	42.9	42.0	40.4
	K2=OPT6
	K3=1.0
		DO	5.7	5.9	6.0	6.1	6.1	5.6	5.5	5.4
	K4=0
	수두유량=2.0

6.3.5 K4의 영향

계수연구의 마지막 단계인 K4를 보기로 한다. 건설기술연구원의 자료에 의하면 K4의 범위는 0.00에서 44.0까지 이고 사용 할 계수는 0.00, 0.5, 1.0, 5.0 등이다.

K4의 영향은 BOD에 관해서는 아주 없고 DO에 대해서도 거의 없다.  다만 K4계수를 0.0, 0.5, 1.0 등의 작은 값들과는 달리 계수에 큰 변화를 주었을 때만 DO에 조금 변화가 있었다. 그리고 그 값은 K4가 커질수록 DO가 떨어지는 것을 볼 수 있다. 건설기술연구원 자료에서 볼 수 있듯이 K4계수는 BOD나 DO의 영향은 적으나 계수의 범위가 넓은 것이 그 특징이라 할 수 있다.

2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
10	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.5	5.7	5.7	5.7	5.7	5.2	5.1	4.9
	K4=0.5
	수두유량=2.0
11	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.4	5.6	5.6	5.6	5.6	5.1	5.0	4.8
	K4=1.0
	수두유량=2.0
12	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	4.8	4.8	4.7	4.7	4.7	4.2	4.1	3.9
	K4=5.0
	수두유량=2.0

6.3.6 K2 의 최적공식선택 : option 1-8

제일 첫 단계의 보정결과에서 보면 shin1의 결과와 거기에 K2만 option6으로 입력했을 때의 결과를 보면 BOD는 거의 일치하는 것으로 opt6이 잘 맞는 것을 알 수 있으나 DO의 결과에서는 그림에서도 볼 수 있듯이 shin1의 결과와 차이가 많이 남을 알 수 있다. shin1에서의 K2값을  여러 가지 결과들과의 비교를 통해 그리고  4장의 <보정그림>를 통해 알 수 있듯이 보정이 잘 된 값이고 이것을 실측치라고 보았을 때  K2의 opt6은 DO의 차이 때문에 좋은 방법이라 할 수 없다.  그래서 이번 단계에서는 K2 option의 방법들을 전부 입력하여 실험해 봄으로 가장 본 대상하천에 잘 맞는 보정방법을 알아보는 것이 목표이다.  이런 실험을 하는 또 다른 목적은 K2의 값을 변수로 입력하게 되면 여러 번 보정과정을 거처야 하는 불편함을 덜기위해서이다.  실측치로 가정하는 shin1의 DO결과와 STND(수두유량만 0.5 ⇒ 2.0)의 결과는 거의 같으므로 STND(opt1)의 결과와 option 2-6의 결과를 비교하기로 한다.

BOD에 있어서는 거의 모든 값들이 가정실측치 STND와 일치하고 있어 BOD보정에서는 모든 option이 적합하겠다.

그러나 DO에 있어서는 그 값들이 차이를 나타내고 있다.  option1에서 option4 그리고 option6은  STND를 상회하여 몰려있었으며 option7,8은 거의 0 값을 나타낸다.  오직 option5만이 STND와의 일치를 보여주고 있다.

그러므로 DO에 영향력이 가장 큰 계수 K2의 option에서는 option5의 Thachston and Krenkel공식이 가장 적합한 것으로  판단된다.

2	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.3	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.6	5.7	5.8	5.8	5.8	5.3	5.2	5.0
	K4=0
	수두유량=2.0
10	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.5	5.7	5.7	5.7	5.7	5.2	5.1	4.9
	K4=0.5
	수두유량=2.0
11	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	5.4	5.6	5.6	5.6	5.6	5.1	5.0	4.8
	K4=1.0
	수두유량=2.0
12	K1=0.55	BOD	40.0	39.3	38.4	37.9	37.4	49.9	49.5	48.7
	K2=OPT6
	K3=0
		DO	4.8	4.8	4.7	4.7	4.7	4.2	4.1	3.9
	K4=5.0
	수두유량=2.0

6.3.7 침전물에 의한 영향

이번 단계에서는 침전물에 의한 영향을 알아보기 위해 하는 실험으로서 침전물의 영향계수들을 고려하지 않고 향후 침전물로 쌓일 것으로 예상되는 점오염원의 약 10%만을 고려하여  침전물의 영향실험을 한다.  즉, 침전물의 부하를 간편하게 계산하기 위해 0.1 * C * Q 의 공식을 사용하여 QUAL2E의 점 오염부하 항목에 자료를 입력 한다. 실험의 자료는 STND와 점오염부하의 110%값을 대입하여  비교분석하였다.

침전물의 오염 영향을 고려해준 결과 BOD의 곡선 형태는 거의 유사하지만 BOD가 늘어나는 경향을 알 수 있었다. 점오염원이 10%증가했음에도 불구하고 DO에는 영향이 없는 것으로 나타났다. 한편, 하류로 갈수록 DO가 약간 떨어지고 있음을 알 수 있다.  보통의 DO곡선이라면 SAG곡선이 나와야한다. 그러나, 본 대상 하천의 특성상 수질이 상당히 좋지 않고 하천의 길이가 짧아 재폭기 될 만한 충분한 시간이 되지 못해서 자정작용의 효과를 보고 있지 못하기 때문이라고 추측된다.

한편, 이번 실험으로서 BOD부하에 의한 BOD 및 DO의 영향도 알 수 있다.  즉 BOD가 10%증가 했을 때 DO보다는 BOD에 그 영향력이 크다는 것이다.

6.3.8 영향도 평가

본 단계에서는 K1, K2, K3, K4, 유량, BOD부하의 DO 및 BOD에 관한 영향도를 평가한다. 이 계수들은 각각 BOD와 DO에 미치는 영향이 다르다고 할 수 있는데, 구체적으로 말한다면 K1, K3 그리고 유량은 BOD에, K2, K1, K4 그리고 유량은 DO에 영향을 미친다고 볼 수 있다.

본 절에서는 이 영향도를 다음과 같은 방법으로 평가한다.  DO에 영향을 미치는 먼저 영향인자(계수, 유량 등)의 변화비에 따른 DO의 변화비를 백분율로 나타낸다.  즉 DO변화율 나누기 영향인자의 변화율이다. 이 방법을 택한 것은 계수와 DO농도의 차원(단위)이 다르기 때문에 각각의 계수와 DO농도와의 상관관계를 객관적으로 평가 할 수 있다고 판단되기 때문이다. 이것은 영향인자나 DO농도를 모두 무차원으로 바꿔 비교할 수 있기 때문이고 영향력의 범위는  모두 0.0에서 100까지이다. 이러한 영향도의 변화를 도식화하기 위하여 인자 DO농도에 비례하면 양의 값으로, DO농도에 반비례하면 음의 값으로 나타낸다.

영 향 인 자			DO		영향도 %
항 목	입 력 값	변 화 율	최대변화값	변화율
K1	0.3 / 1.0	2.33	6.8 / 4.8	0.42	18.0
K2	2.25 / 6.75	2.0	2.32 / 5.4	1.33	66.5
K3	0.5 / 1.0	1.0	6.0 / 6.1	0.016	1.6
K4	0.5 / 5.0	9.0	5.7 / 4.8	0.19	2.08
Q	0.5 / 2.0	3.0	5.48 / 5.8	0.058	1.9
BOD		0.1	4.0 / 3.9	0.256	2.56

BOD에 영향력이 강한인자로는 K1, K3를 제외하고는 영향력이 작으므로 이 인자들만 고려하여 그 영향도를 구한다.  방법은 DO의 영향도와 마찬가지이다.

영 향 인 자			DO		영향도 %
항 목	입 력 값	변 화 율	최대변화값	변화율
K3	0.5 / 1.0	1.0	46.2 / 42.9	0.0769	7.69
K1	0.3 / 1.0	2.33	51.9 / 46.6	0.113	4.9

위의 자료들을 이용하여 그 영향도를 도식화하면 다음과 같다.

6.4 하천의 자정능력

수질오염방지는 하천의 오염기구, 다시 말해서 자정작용에 의해서 수역의 이용을 방해받지 않도록 오수의 유입을 규제하는 것이다. 이 자정작용은 크게 물리적인 것과 생물, 화학적인 것으로 나눌 수 있다.

물리적 자정작용은 하천중의 난류에 의해서 오수가 희석, 확산되는 현상이며 하천 자정작용의 중요한 인자이며 오수의 방류방법 등을 정하는 결정적인 계기가 된다.  감조 하천의 경우에는 난류에 의한 확산보다는 조류의 밀물과 썰물의 조석에 의한 혼합이 지배적이며 그 선에 따라 희석이 진행된다.  생물학적 자정작용은 유기물이 하천수중의 미생물이나 원생동물에 의해서 산화, 환원을 받아 무기화 되는 현상이다.  하수 중에 용존산소가 있는 경우에는 호기성균이 수중의 용존산소를 소비하여 무기화한다.  한편, 수중에 용존산소가 전혀 없으면 유기물중의 산소가 혐기성균에 위해서 소비되어 환원작용을 받는다.

하천의 자정능력은 하천으로 유입된 오염물질을 분해하고 분해 시 소모된 수중의 용존산소를 다시 보충하여 원상태로 회복시키는 능력이다.  따라서 하천의 자정능력을 정확하게 평가하는 것은 하천의 장래수질을 정확하게 예측하는 근원이 된다.

6.4.1 자정능력 평가기법

하천의 자정능력은 하천의 수리 현상, 즉 물의 유동량과 하천의 수질인자, 즉 각종 수질항목의 분석 및 생성에 관련된 복잡한 현상을 파악함으로써 엄밀한 해석이 가능하나, 국내의 여건에서는 수집 자료의 부정확성과 불충분성 등에 의해, 통상 BOD와 관련된 오염물질의 분석능력과 용존산소의 재폭기 능력에 대한 시스템 계수를 파악한다. 오염물질의 종류로는 유기물, 무기물(질소, 인 등), 중금속 등 여러 가지가 있으나 본 사업의 정화능력 평가대상 오염물질로는 일반적인 수질지표 항목인 유기물질, 즉 BOD로 확정하였다.  그 이유는 국내 여건상 현재 다른 오염물질은 하천에서의 변화 즉 분해능에 대한 기초자료가 극히 부족하여 이용 가능 한 자료를 얻을 수 없기 때문이다.

하천의 자정능력은 하천의 수문, 수리, 물리, 화학, 생물학적 특성에 좌우되므로 하천지점 및 구간별로 변화하게 된다.  따라서 전 구간에 대한 자정능력을 실측에 의해 평가한다는 것은 시간과 내용이 많이 소요되기 때문에 어려운 일이므로 일반적인 평가기법으로 전산모의실험에 의한 확정방법이다.

수질 모델링에 의한 하천의 자정능력 평가방법은 하천의 수질(BOD, DO, 수온 등)과 유량, 수심, 유속 등을 실측하고 하천의 주요구간에 대하여 과거 실측된 기존 BOD 분해계수(K1)와 재폭기 계수(K2)를 기본으로 하여, 컴퓨터에 의한 수질모형을 이용하여 수질을 계산한다.  확정수질이 실측수질과 유사하도록 K1 및  K2  값을 결정하는 것으로서 이러한 과정을 모형의 보정(Calibration) 및 검증(Verification)이라 한다. 수질모형의 보정 및 검증을 위하여 여러 기간 동안 8개 주요지점에 대하여 측정된 실측 결과를 사용한다.

신천의 수질모형 보정을 위하여 실측자료를 사용하여 보정하였고, 실측자료로서 보정된 시스템 계수 및 유입 오염부하량을 남한강 보고서 등 기존의 모사실험 예와 비교하여, 모형적용의 타당성을 검토하였다.

하천의 자정능력은 하천의 구간에 따라 다른데 이는 주로 하천의 유속, 수심, 수리 단면적 등의 수리학적 특성에 좌우된다.  따라서 본 사업에서는 이러한 수리학적 특성을 구간별로 규명하기 위하여 하천정비사업 보고서를 활용하여 주요 지천별 유량을 고찰하였다.

K2 계수는 QUAL2E 모형에서 이용 가능 한 8종류의 K2 계수 산정 공식 중 환경보전 장기 종합계획 시 우리나라 하천의 DO 농도 계산에 가장 적합한 공식으로 밝혀진 Langbein & Durum 공식  등을 사용하였지만 본 하천에서는 option5의 Thachsonton and Krenkel공식이 DO에 더욱 적합하다.

모의실험 대상구간은 신천의 경우 상수 채수지점을 기준으로 하여 승전교에서 상류로 양주군 도하리까지 약 22 Km이며, 모의실험에 필요한 최소구간 단위인 소 구획(Computational element)의 거리는 오염원 위치와 지점별 수질을 고찰하여 500m로 하여 대상구간 내 44개의 소 구간으로 구분하였다.

모형의 실험 대상 구간 상 구간별 각종 특성을 달리하는 구획(reach)의 구분은 수리모델링 결과 수리학적 특성이 다른 것으로 나타난 것에 의거하여 신천의 경우 2개의 구분으로 설정하였고 다음 <계획구간그림>에 신천 수질 모의실험에 사용된 소 구간 및 구획을 나타내었다.

<보정 그림>은 신천의 수질 확정에 대한 수질모형 보정 및 검정결과로서 BOD 및 DO 농도에 대하여 실측수질과 모델링 결과 나타난 계산수질을 비교한 것으로서 전반적으로 상호 근사한 수질을 보여주는 것으로 보아 보정 및 검정이 양호한 것으로 판단된다.

8. Manning의 식을 설명하라．

Explain the Manning’s Eqaution.

Manning의 공식은 다음과 같다.

[eqn: Q= {C _{m}} over {n} AR ^{2/3} S ^{1/2}]	(8.2.1)

여기서Q는 수량(L3/T), A는 유로단면적, R은 수력반지름(면적을 접수주변) p로 나눈 값), S는 에너지경사선의 기울기, n은 Manning 조도계수(표 5.1;조도계수), Cm은 경험상수(L1/3/T)로 USC단위로는 1.49이고 SI단위로는 1.0이다. Q, n, S가 기지수이면 식(8.2.1)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: A=cP ^{2/5}]	(8.2.2)

여기서 c는 알려진 값이다. 이 식으로부터 A가 최소이면 P도 최소임을 알 수 있다. 직사각형 수로(그림8.1)에 대해 최량수력단면을 찾기 위해, [eqn: P=b+2y]밑 [eqn: A=by]로 나타낸다.

그림 8.1 직사각형 단면

그러면 b를 소거함으로써

[eqn: A=(P-2y)y=cP^{ 2/5 }]

P가 최소가 되는 y값을 찾는다. y에 대해 미분하면 다음과 같으며	[eqn: ( { dP } over { dy } -2)y+P-2y= { 2 } over { 5 } cP^{ -3/5 } { dP } over { dy }]

dP/dy=0으로부터 P=4y, P=b+2y이므로, 다음의 식을 얻게 된다.

[eqn: b=2y]	(8.2.3)

따라서 깊이는 직사각형 단면의 크기와는 무관하게 바닥 폭의 절반이다.

사다리꼴의 최량수력단면 (그림8.2)을 찾기 위해서는 [eqn: A=by+my^{ 2 } ,][eqn: P=b+2y sqrt { 1+m^{ 2 } }]으로 나타낸다. 이들 식으로부터 b와 A를 소거하면 식 (8.2.2)는 다음과 같다.

[eqn: A=by+my ^{2} =(P-2y sqrt {1+m ^{2}} )y+my ^{2} =cP ^{2/5}]          (8.2.4)

m은 상수로 하고 y에 대하여 미분하면 으로 하면

[eqn: P=4y sqrt {1+m ^{2}} -2my]                                (8.2.5)

다시 y를 상수로 하고 식 (8.2.4)를 m에 대해 미분하고 [eqn: PARTIAL P/ PARTIAL m=0]으로 하면 다음을 얻는다.

[eqn: { 2m } over { sqrt { 1+m^{ 2 } } } =1]

그림 8.2 사다리꼴 단면

이를 m에 대해 풀면,

[eqn: m= {sqrt {3}} over {3}]

이를 식 (8.2.5)에 대입하면 다음 식을 얻는다.

[eqn: P=2 sqrt {3} y]     [eqn: b=2 {sqrt {3}} over {3} y]     [eqn: A= sqrt {3} y ^{2}]              (8.2.6)

따라서 b=P/3가 되고 경사면은 바닥과 같은 길이를 가진다. [eqn: tan ^{-1} m=30 DEG]이므로 최량수력단면은 육각형의 반이다. m(젖은 지면이 지탱할 수 있는 최대경사)이 주어지는 사다리꼴 단면에 대하여 식 (8.2.5)는 바닥폭 대 깊이의 최량비를 찾는 경우에 쓰인다.

반원은 모든 가능한 개수로 단면들 중에서 최량수력단면이다.